Dimension Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mo 30.09.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Gegeben sei der Teilraum V={ [mm] \vektor{a \\ b \\ c} \in \IR^{3} [/mm] | a+c=0 }
Bestimmen Sie aus der Menge M eine Basis von V.
M={ [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ -1} [/mm] } |
Hallo,
habe bei obiger Aufgabe ein Verständnisproblem.
Zunächst habe ich mir überlegt, welche Elemente aus M in V liegen.
Das sind bis auf [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] alle Vektoren der Menge M.
Da die Rede vom [mm] \IR^{3} [/mm] ist bin ich davon ausgegangen, dass die Basis dreidimensional ist, folglich alle anderen Elemente aus M eine Basis von V bilden.
Laut Lösung ist dies aber falsch, da bereits zwei Elemente eine Basis bilden.
Warum ist das so? Und wie sehe ich das möglichst schnell?
Gruß
poeddl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mo 30.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, nur [mm] (1,0,1)^T [/mm] liegt nicht in V, aber V kann ein Unterraum von [mm] R^3 [/mm] sein, also musst du noch überprüfen , ob die 3 die in V liegen lin. unabhängig sind.
da es eine Bedingung gibt, kann V eigentlich nicht 3 d sein, sonst müsste ja auch ( [mm] 1,0,1)^T [/mm]
drin liegen. es steht da ja auch V Teilmenge von [mm] R^3!
[/mm]
bestimme also ein oder 2 lin unabh. Vektoren in V, dann hast du eine Basis.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 30.09.2013 | | Autor: | poeddl |
Danke erstmal für deine Antwort.
Leider habe ich noch nicht verstanden, warum bereits zwei linear unabhängige Vektoren den Vektorraum V aufspannen.
Liegt das nur an der Bedingung a+c=0?
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke erstmal für deine Antwort.
>
> Leider habe ich noch nicht verstanden, warum bereits zwei
> linear unabhängige Vektoren den Vektorraum V aufspannen.
>
> Liegt das nur an der Bedingung a+c=0?
Ja, ganz genau. Das bewirkt nämlich, dass Dim(V)=2 ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 30.09.2013 | | Autor: | poeddl |
Okay... aber angenommen die Bedingung wäre a+b+c=0, dann wär dim(V) wieder 3, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo poeddl,
> Okay... aber angenommen die Bedingung wäre a+b+c=0, dann
> wär dim(V) wieder 3, oder?
Nein, dann ist nach wie vor dim(V)=2.
Nur die Basis ist dann eine andere.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 30.09.2013 | | Autor: | poeddl |
Aber warum?
Irgendwie versteh ich das einfach nicht... :/
|
|
|
| |
|
Hallo poeddl,
> Aber warum?
> Irgendwie versteh ich das einfach nicht... :/
Die Bedingung ist durch eine einzige Gleichung gegeben,
damit ist eine Variable durch die beiden anderen Variablen
darstellbar. Daher ist dim(V)=2.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 30.09.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort!
Das heisst, wenn es zwei Bedingungen geben würde, dann wär dim(V)=1?
Oder kann man das so pauschal nicht sagen?
Gruss
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> danke für die schnelle Antwort!
> Das heisst, wenn es zwei Bedingungen geben würde, dann
> wär dim(V)=1?
> Oder kann man das so pauschal nicht sagen?
Hallo,
nein.
Es kommt ja auch auf die Bedingungen an.
(Bei 10 Bedingungen wird man sicher nicht die Dimension -7 haben.)
Schauen wir nochmal an die Menge [mm] M:=\{\vektor{a\\b\\c}|a+b+c=0\}.
[/mm]
Welche Vektoren sind da drin?
Die, die von der Gestalt [mm] \vektor{a\\b\\-a-b}=a*\vektor{1\\0\\-1}+b*\vektor{0\\1\\-1} [/mm] sind.
Also ist M der von [mm] \vektor{1\\0\\-1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\-1} [/mm] aufgespannte Raum, welcher offensichtlich die Dimension 2 hat.
LG Angela
>
> Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mo 30.09.2013 | | Autor: | poeddl |
Aaaah super, vielen lieben Dank!
Jetzt hab ichs kapiert.
Danke, danke, danke :)
|
|
|
|
