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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:18 Sa 05.05.2007 | | Autor: | toast |
| Aufgabe | Sein V ein K-Vektorraum und L ein affiner Unterraum von V, sowie [mm] y_o,...y_n \in L [/mm] paarweise verschieden. Zeigen sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
- Ist [mm] \tilde L[/mm] [mm]\subset L[/mm] ein affiner Unterraum von V der Dimension dim [mm] \tilde L \le [/mm] (n-1), so existiert ein [mm]i \in {0,...,n}[/mm] mit [mm] y_i \not\in \tilde L [/mm]
- [mm](y_1 - y_0, .... , y_n - y_0) [/mm] sind linear unabhängig |
Als erstes bin ich von der Rückrichtung ausgegangen, d.h. [mm](y_1 - y_0, .... , y_n - y_0) [/mm] sind linear unabhängig.
Wenn ich auf all diese Vektoren nun den gleichen Vektor [mm]y_0[/mm] aufaddiere bleiben sie linear unabhängig, d.h. es gilt:
[mm](y_1 , .... , y_n ) [/mm] sind linear unabhängig.
Mit dim [mm] \tilde L \le [/mm] (n-1), d.h. [mm] \tilde L [/mm] hat max (n-1) linear unabhängige Vektoren.
Daraus folgt:
Mindestens ein [mm] y_i \not\in \tilde L [/mm]
Bei der Hinrichtung hab ich das Problem, dass die Vektoren [mm](y_1 , .... , y_n ) [/mm] nur paarweise verschieden und damit nicht unbedingt linear unabhängig sein müssen. das heisst quasi [mm]\tilde L [/mm] hat die Vektoren [mm](x_1 , .... , x_{n-1} ) [/mm] die linear unabhängig sind und eben zusätzlich ein [mm]y_i [/mm]. Wie komm ich nun drauf, dass die auch die [mm](y_1 - y_0, .... , y_n - y_0) [/mm] linear unabhängig sind?
Ich könnt mir vorstellen, dass die [mm](y_1, .... , y_n) [/mm] jeweils das Vielfache der [mm](x_1 , .... , x_n-1 ) [/mm] sein müssen, aber ich hab da keinen Ansatz für einen sauberen Beweis.
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Sa 05.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
1) Angenommen der Punkt [mm] $y_1$ [/mm] ist der Nullpunkt.
Dann sind [mm] $(y_1, [/mm] ..., [mm] y_n)$ [/mm] sicherlich nicht mehr linear unabhängig.
2) Angenommen die [mm] $y_i$ [/mm] liegen alle in einem 1-dimensionalen Untervektorraum, (also einer Geraden durch den Nullpunkt)
Fasse diesen als den affinen Unterraum [mm] $\overline [/mm] L$ auf. Dann liegen alle [mm] $y_i$ [/mm] in [mm] $\overline [/mm] L$
Ich habe das Gefühl, dass bei
> - Ist [mm]\tilde L[/mm] [mm]\subset L[/mm] ein affiner Unterraum von V der
> Dimension dim [mm]\tilde L \le [/mm] (n-1), so existiert ein [mm]i \in {0,...,n}[/mm]
> mit [mm]y_i \not\in \tilde L[/mm]
etwas fehlt, bzw. dass vielleicht gemeint ist, dass Du die [mm] $y_i$ [/mm] konstruieren bzw. finden kannst.
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