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| Aufgabe | | Sei U [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] die Menge aller Linearkombinationen (lineare Hülle) Lin{ [mm] {a_{1},a_{2},a_{3}} [/mm] } mit [mm] a_{1} [/mm] = [mm] (2,1,3)^{T}, a_{2}=(1,0,-2)^{T}, a_{3} =(3,1,1)^{T}. [/mm] Sind [mm] a_{1},a_{2},a_{3} [/mm] linear unabhänig? Man bestimme die dim U und gebe eine Basis an. |
Hallo,
ich weiß das die Vektoren linear abhängig sind, weil die Determinante der Matrix der Vektoren 0 ist.
Jetzt weiß ich nicht genau wie ich weiter machen soll.
Im Vorlesungsskript steht bei uns: Die Anzahl der Elemente einer Basis eines linearen Vektorraums heißt Dimension des Vektorraums.
Daher muss ich nun wohl eine Basis für die lineare Hülle bilden, weil die drei Vektoren ja keine Basis bilden?
Soll man dann aus dieser Basis nur Vektoren erzeugen können die auch zur linearen Hülle gehören?
Kann ich einfach den 3. Vektor weglassen und die Dimension ist 2?
Also Basis U = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3},\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] und dim U = 2? Bin dankbar für Hilfe.
Gruß
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 26.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Wenn ein Vektorraum von endlich vielen Vektoren [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] erzeugt wird, dann findest du eine Basis, indem du ein minimales Erzeugendensystem (oder ein maximales linear unabhängiges System) auswählst.
Gruß, Robert
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Hallo,
vielen Dank für Deine Antwort. Genau das ist mein Problem, dass ich bei einigen Begriffen nicht sicher bin, ob ich sie verstanden habe. Wir haben z.B. "aus Zeitgründen und wegen mangelnder Vorbildung durch die Schulen" keine Gruppen und Körper behandelt. Über die Begriffe wird aber z.B. Vektorraum im Skript definiert.
Also meiner Meinung nach wäre nun U ein Vektorraum und die beiden Vektoren ja auch ein minimales erzeugenden System, weil alle Vektoren des Raumes aus Linearkombinationen aus den beiden Vektoren dargestellt werden können und wenn man einen wegnimmt, dass nicht mehr der Fall wäre.
Aber dann wäre die Dimension ja nur 2, obwohl die Vektoren 3 Komponenten haben?!
Ist ein minimales Erzeugendensystem und ein maximales linear unabhängiges System das Gleiche?
Gruß, Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mi 26.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
> Also meiner Meinung nach wäre nun U ein Vektorraum und die
> beiden Vektoren ja auch ein minimales erzeugenden System,
> weil alle Vektoren des Raumes aus Linearkombinationen aus
> den beiden Vektoren dargestellt werden können und wenn man
> einen wegnimmt, dass nicht mehr der Fall wäre.
> Aber dann wäre die Dimension ja nur 2, obwohl die
> Vektoren 3 Komponenten haben?!
Ja, U ist ein Vektorraum, genauer ein Untervektorraum des [mm] \IR^3. [/mm] Untervektorräume können eine kleinere Dimension als der Vektorraum, von dem sie Unterraum sind, haben. Beispiel für Unterräume sind z. B. die Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen.
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> Ist ein minimales Erzeugendensystem und ein maximales
> linear unabhängiges System das Gleiche?
Genau, das sind zwei äquivalente Formulierungen für den Begriff der Basis.
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> Gruß, Tobias
Gruß, pyw
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