Dim. v. Quotientenvektorräumen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Sa 25.04.2015 | | Autor: | themosti |
| Aufgabe | Wir betrachten in V = [mm] Mat_n(K), [/mm] n >= 1 die drei Untervektorräume [mm] U_1, U_2, U_3 \subset [/mm] V der Skalarmatrizen, der Diagonalmatrizen bzw. der oberen Dreiecksmatrizen. Was sind die Dimensionen der Quotientenvektorräume
[mm] U_3/U_1, [/mm]
[mm] U_3/U_2,
[/mm]
[mm] V/U_1,
[/mm]
[mm] V/U_2 [/mm] und
[mm] V/U_3? [/mm] |
Hi Leute!
Ich sitze an obiger Aufgabenstellung seit mehreren Stunden mittlerweile und habe noch nichts auf Papier bringen können.
Die einzige "Idee" die ich habe/hatte ist die, dass man Annahmen zu dem Kern der Abbildung und über den Rang der Matrix machen könnte, welcher gleich der Dimension des Bildes der von der Matrix beschriebenen Abbildung f ist, und mit dem Rangsatz arbeiten könnte.
Wir wissen für Skalarmatrizen (sind skalare Vielfache der Einheitsmatrix) und Diagonalmatrizen, dass sie vollen Rang haben, solange die Elemente auf der Hauptdiagonalen ungleich null sind. In diesem Fall wäre auch der $Kern(f) [mm] =\{\}$, [/mm] korrekt?
Jetzt frage ich mich, ob mich das überhaupt weiterbringt?
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wir betrachten in V = [mm]Mat_n(K),[/mm] n >= 1 die drei
> Untervektorräume [mm]U_1, U_2, U_3 \subset[/mm] V der
> Skalarmatrizen, der Diagonalmatrizen bzw. der oberen
> Dreiecksmatrizen. Was sind die Dimensionen der
> Quotientenvektorräume
> [mm]U_3/U_1,[/mm]
> [mm]U_3/U_2,[/mm]
> [mm]V/U_1,[/mm]
> [mm]V/U_2[/mm] und
> [mm]V/U_3?[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn Du einen endlichdimensionalen Vektorraum V und einen Unterraum U hast, dann gilt
[mm] \dim [/mm] U + [mm] \dim [/mm] V/U = [mm] \dim [/mm] V.
Wenn das dran war, mußt Du Dir die Dimensionen von V, [mm] U_1, U_2, U_3 [/mm] überlegen.
Wenn Du das hast, bist Du auf der Gewinnerspur.
Mit Deinen Überlegungen scheinst Du mir auf dem falschen Dampfer zu sein.
LG Angela
> Hi Leute!
>
> Ich sitze an obiger Aufgabenstellung seit mehreren Stunden
> mittlerweile und habe noch nichts auf Papier bringen
> können.
> Die einzige "Idee" die ich habe/hatte ist die, dass man
> Annahmen zu dem Kern der Abbildung und über den Rang der
> Matrix machen könnte, welcher gleich der Dimension des
> Bildes der von der Matrix beschriebenen Abbildung f ist,
> und mit dem Rangsatz arbeiten könnte.
>
> Wir wissen für Skalarmatrizen (sind skalare Vielfache der
> Einheitsmatrix) und Diagonalmatrizen, dass sie vollen Rang
> haben, solange die Elemente auf der Hauptdiagonalen
> ungleich null sind. In diesem Fall wäre auch der [mm]Kern(f) =\{\}[/mm],
> korrekt?
> Jetzt frage ich mich, ob mich das überhaupt weiterbringt?
> Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
>
> Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir auf die Sprünge
> helfen könntet.
>
> Vielen Dank!
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 26.04.2015 | | Autor: | themosti |
Hallo Angela!
ich danke für die rasche Antwort!
Die Formel ist mir von der Vorlesung bekannt; an die hatte ich auch gedacht.
Es gilt also:
$dim [mm] U_3/U_1 [/mm] = dim [mm] U_3 [/mm] - dim [mm] U_1$
[/mm]
Meine Überlegungen waren eben darüber, wie ich die Dimensionen der (U)V-Räume bestimmen kann.
Betrachten wir $ V= [mm] Mat_n(K) [/mm] $.
Um die Dimension von $V$ bestimmen zu können, brauchen wir ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, sodass die lineare Hülle dieses Erzeugendensystems gleich [mm] $Mat_n(K)$ [/mm] ist.
Dann wäre:
$ V = [mm] Mat_n(K) [/mm] = < [mm] E_{1,1}, E_{2,2}, [/mm] ... , [mm] E_{n,n} [/mm] >$
mit [mm] $E_{i,i}: [/mm] Standardmatrix, i [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] $.
Dann ist:
$dim V = n $
Betrachten wir nun [mm] U_1, [/mm] den Untervektorraum der Skalarmatrizen.
Dann ist:
$ [mm] U_1 [/mm] = < [mm] Id_n [/mm] > $
mit [mm] $Id_n$ [/mm] die nxn-Einheitsmatrix
also $dim [mm] U_1 [/mm] = 1$
Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg? :)
LG,
themosti
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 So 26.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela!
> ich danke für die rasche Antwort!
>
> Die Formel ist mir von der Vorlesung bekannt; an die hatte
> ich auch gedacht.
>
> Es gilt also:
>
> [mm]dim U_3/U_1 = dim U_3 - dim U_1[/mm]
>
> Meine Überlegungen waren eben darüber, wie ich die
> Dimensionen der (U)V-Räume bestimmen kann.
>
> Betrachten wir [mm]V= Mat_n(K) [/mm].
> Um die Dimension von [mm]V[/mm]
> bestimmen zu können, brauchen wir ein linear unabhängiges
> Erzeugendensystem, sodass die lineare Hülle dieses
> Erzeugendensystems gleich [mm]Mat_n(K)[/mm] ist.
>
> Dann wäre:
>
> [mm]V = Mat_n(K) = < E_1,1, E_2,2, ... , E_n,n >[/mm]
>
> mit [mm]E_i,i: Standardmatrix, i \in \{1,...,n\} [/mm].
> Dann ist:
> [mm]dim V = n[/mm]
Nein. Es ist [mm] dimV=n^2
[/mm]
>
> Betrachten wir nun [mm]U_1,[/mm] den Untervektorraum der
> Skalarmatrizen.
> Dann ist:
> [mm]U_11 = < Id_n >[/mm]
> mit [mm]Id_n[/mm] die nxn-Einheitsmatrix
> also [mm]dim U_1 = 1[/mm]
Ja.
FRED
>
> Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg? :)
>
> LG,
>
> themosti
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