Dim. und Basis eines Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe hier eine Aufgabe mit der ich irgendwie garnciht klarkomme.
Wäre nett5, wenn mir einer hierbei helfen koennte.
Hier die Aufgabe:
Gegeben seien die Vektoren
[mm] \vec{a}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3},\qquad \vec{a}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2}, \qquad \vec{a}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \in \IR^{5}
[/mm]
Weiter sei U := [mm] \{\vec{x} \in \IR^{5}:\vec{x} \perp \vec{a}_{1}, \vec{x} \perp \vec{a}_{2}, \vec{x} \perp \vec{a}_{3}\} [/mm]
Zeigen sie, dass U ein Unterraum von [mm] \IR^{5} [/mm] ist.
Bestimmmen sie Basis und Dimension von U.
Hier mein Lösungsversuch:
Der Unterraum wird ja von den Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] aufgespannt, die Senkrecht auf allen drei Vekttoren [mm] \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}
[/mm]
stehen.
Da aber [mm] \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3} [/mm] linear unabhängig sind,
würde ich sagen, dass es nur einen Vektor geben kann, der Senkrecht auf [mm] \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3} [/mm] steht.
Somit wäre fuer mich die Dimension des Unterraums 1 und die Basis (1).
Beweis fuer Unterraum:
[mm] \vec{x}, \vec{y} \in \IR [/mm] => ( [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{y} [/mm] ) [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \vec{x}, \vec{y} \in \IR [/mm] => ( [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \vec{y} [/mm] ) [mm] \in \IR
[/mm]
hmm, das kommt mir irgendwie aber komisch vor .p
Hierzu noch eine weitere Frage.
Man hat z.B. 4 Vektoren in [mm] \IR^{5}, [/mm] die alle linear unabhängig voneinander
sind. Wenn man nun noch einen 5ten Vektor, der senkrecht auf den anderen Vektoren steht, hinzunimmt, bilden diese 5 Vektoren dann eine Basis des [mm] \IR^5 [/mm] ??
Vielen Dank fuer eure Hilfe
bis bald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 04.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also U ist ein Unterraum des [mm] $\IR^5$ [/mm] und hat 2 Dimensionen.
Dies musst du zwar noch zeigen, aber du hast öfters geschrieben, dass U aus eindimensionalen Vektoren (bzw. reelle Zahlen) bestehen würde, dies ist aber anschaulich falsch, denn U ist praktisch der Rest der [mm] $\IR^5$, [/mm] wenn man den Untertraum, der durch die gegebenen a-Vektoren erzeugt wird wegnimmt.
(also insbesondere haben die Vektoren aus U auch 5 Komponenten)
> Da aber [mm]\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}[/mm] linear
> unabhängig sind,
> würde ich sagen, dass es nur einen Vektor geben kann, der
> Senkrecht auf [mm]\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}[/mm] steht.
>
> Somit wäre fuer mich die Dimension des Unterraums 1 und die
> Basis (1).
Dies stimmt nicht - der [mm] $\IR^5$ [/mm] hat doch 5 Dimensionen, weshalb sollte irgend eine Vektormenge, die senkrecht zu drei lin. unabhängigen stehen soll nur eindimensional sein?
Beispiel im dreidimensionalen : nimm als Vektor mal [mm] $a'=\vektor{0\\1\\0}$, [/mm] also in y-Richtung, dann ist U gerade die gesamte x-z-Ebene (muss ja als U-VR durch den Nullpunkt gehen).
> Beweis fuer Unterraum:
> [mm]\vec{x}, \vec{y} \in \IR[/mm] => ( [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\vec{y}[/mm] ) [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]\vec{x}, \vec{y} \in \IR[/mm] => ( [mm]\vec{x}[/mm] * [mm]\vec{y}[/mm] ) [mm]\in \IR[/mm]
>
hier darfst du dich nicht in [mm] $\IR$ [/mm] verrennen, du musst annehmen, dass x und y aus U sind und dann zeigen, dass dann auch (x+y) in U liegt, d.h. zu allen a-Vektoren senkrecht ist.
Dies sollte man übrigens schnell zeigen, wenn man die Senkrecht-Definition über das Skalarprodukt benutzt.
Versuch dich doch bitte nochmal daran und poste deine Versuche hier, dann schauen wir mal weiter, wie man eine Basis findet.
(Durch lösen des entspr. Gl.sys. )
> Hierzu noch eine weitere Frage.
> Man hat z.B. 4 Vektoren in [mm]\IR^{5},[/mm] die alle linear
> unabhängig voneinander
> sind. Wenn man nun noch einen 5ten Vektor, der senkrecht
> auf den anderen Vektoren steht, hinzunimmt, bilden diese 5
> Vektoren dann eine Basis des [mm]\IR^5[/mm] ??
ja, denn diese fünf Vektoren sind ja linear unabhängig (WARUM?), also bilden sie eine Basis.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mo 05.09.2005 | | Autor: | trinkMilch |
Hi,
erstmal Danke fuer deine Antwort...
ich muss aber zugeben, dass ich solch eine Art von Aufgabe zum ersten mal mache..oO
Wollt nur bescheid sagen, dass eine selbsttändige Lösung noch ein oder zwei Tage dauern wird, wäre aber nett, wenn dann nochmal jemand es korrektur lesen könnte :D
Bis dann.
Gruss,
Marc
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