Diffusionsgleichung inhomo. RB < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 29.12.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung von:
[mm] u_{t}-\bruch{1}{9}u_{xx}=0
[/mm]
u(0,t)=0
[mm] u(1,t)=e^{-t}
[/mm]
[mm] u(x,0)=sin(6\pi x)-sin(12\pi x)+\bruch{sin 3x}{sin 3} [/mm] |
Ich weiß, dass dies eine Diffusionsgleichung mit inhomogenen Randbedingungen ist. Die Lösung kann ich mit Superposition bekommen, sprich die Randbedingungen einzeln betrachten und hinterher überlagern. Doch da hänge ich total.
Also hier mein Ansatz:
Ich betrachte die Lösung [mm] u_{R} [/mm] mit den Randwerten [mm] R_{0}=0 [/mm] und [mm] R_{L=1}=e^{-t}. [/mm] In meinen Skrit steht, dass die Lösung
[mm] u_{R}(x,t)= B_{0}x+\summe_{}^{}B_{s}sin(\wurzel[]{s}x)e^{-c^{2}st}
[/mm]
ist. Das versteh ich soweit eigentlich auch noch, nur ich habe Probleme [mm] B_{s} [/mm] zu bestimmen. In meinen Skrit steht, dass
[mm] e^{-t}=B_{0}*L+\summe_{}^{}B_{s}sin(\wurzel[]{s}L)e^{-c^{2}st}
[/mm]
ist. Wenn ich das nun ausrechne, bekomm ich raus, dass [mm] B_{0}=e^{-t} [/mm] ist. Wie mach in denn dann weiter?
Danke für eure Antworten.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Lösung von:
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> [mm]u_{t}-\bruch{1}{9}u_{xx}=0[/mm]
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> u(0,t)=0
> [mm]u(1,t)=e^{-t}[/mm]
> [mm]u(x,0)=sin(6\pi x)-sin(12\pi x)+\bruch{sin 3x}{sin 3}[/mm]
> Ich
> weiß, dass dies eine Diffusionsgleichung mit inhomogenen
> Randbedingungen ist. Die Lösung kann ich mit Superposition
> bekommen, sprich die Randbedingungen einzeln betrachten und
> hinterher überlagern. Doch da hänge ich total.
>
> Also hier mein Ansatz:
>
> Ich betrachte die Lösung [mm]u_{R}[/mm] mit den Randwerten [mm]R_{0}=0[/mm]
> und [mm]R_{L=1}=e^{-t}.[/mm] In meinen Skrit steht, dass die
> Lösung
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> [mm]u_{R}(x,t)= B_{0}x+\summe_{}^{}B_{s}sin(\wurzel[]{s}x)e^{-c^{2}st}[/mm]
>
> ist. Das versteh ich soweit eigentlich auch noch, nur ich
> habe Probleme [mm]B_{s}[/mm] zu bestimmen. In meinen Skrit steht,
> dass
>
> [mm]e^{-t}=B_{0}*L+\summe_{}^{}B_{s}sin(\wurzel[]{s}L)e^{-c^{2}st}[/mm]
> ist. Wenn ich das nun ausrechne, bekomm ich raus, dass
> [mm]B_{0}=e^{-t}[/mm] ist. Wie mach in denn dann weiter?
>
mir ist deine notation nicht so ganz klar, zum Beispiel wie $c$ gewählt werden kann/muss. denk dran, dass die [mm] $B_s$ [/mm] konstant sein sollen, der [mm] $e^{-t}$ [/mm] term muss also irgendwie von dem summen-term erzeugt werden. Wäre zB. $c=1$, so müsstest Du [mm] $B_s=0$ [/mm] setzen für $s=0,s>1$ und [mm] $B_1$ [/mm] so, dass [mm] $B_1 \sin(L)=1$ [/mm] gilt.
Dann wäre die randbedingung erfüllt.
gruss
Matthias
> Danke für eure Antworten.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:14 Do 29.12.2011 | | Autor: | engels |
So ganz verstehe ich deine Antwort nicht, daher hier meine Notationen:
[mm] c^{2}=\bruch{1}{9}
[/mm]
L=1
[mm] s=(\bruch{k\pi}{L})^{2}
[/mm]
Könntest du mir vielleicht nochmal erläutern, wie ich nun auf eine Lösung für [mm] B_{s} [/mm] kommen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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