Differnential nach (x+a)^2 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 07.10.2012 | | Autor: | Sup |
Hi,
ich hab hier ne Aufgabe bei der an einer Stelle [mm] \bruch{d^2}{d(x+a)^2}=\bruch{d^2}{dx^2} [/mm] gesetzt ist (a ist eine Konstante). Wollte das jetzt für mich persönlich nachvollziehen (hat nichts mit der eigentlichen Aufgabe zu tun).
Ich hab 2 Ansätze versucht. Allerdings führt mich nur einer zum Ergebnis und das wurmt micht im Moment, weil ich nicht weiß wieso
[mm] \bruch{d}{d(x+a)}\bruch{d}{d(x+a)}= (\bruch{d}{dx}+\bruch{d}{da})(\bruch{d}{dx}+\bruch{d}{da})
[/mm]
d/da=0 da a= constant und ich krieg wie gewollt [mm] d^2/dx^2 [/mm] am Ende raus.
Setze ich aber mit
[mm] \bruch{d^2}{d(x+a)^2}=\bruch{d^2}{d(x^2+a^2+2ax)} [/mm] an komm ich beim 2ax nicht weiter.
Kann mir wer netterweisen auf die Sprünge helfen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 So 07.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi,
> ich hab hier ne Aufgabe bei der an einer Stelle
> [mm]\bruch{d^2}{d(x+a)^2}=\bruch{d^2}{dx^2}[/mm] gesetzt ist (a ist
> eine Konstante). Wollte das jetzt für mich persönlich
> nachvollziehen (hat nichts mit der eigentlichen Aufgabe zu
> tun).
>
> Ich hab 2 Ansätze versucht. Allerdings führt mich nur
> einer zum Ergebnis und das wurmt micht im Moment, weil ich
> nicht weiß wieso
>
> [mm]\bruch{d}{d(x+a)}\bruch{d}{d(x+a)}= (\bruch{d}{dx}+\bruch{d}{da})(\bruch{d}{dx}+\bruch{d}{da})[/mm]
>
> d/da=0 da a= constant und ich krieg wie gewollt [mm]d^2/dx^2[/mm] am
> Ende raus.
>
> Setze ich aber mit
> [mm]\bruch{d^2}{d(x+a)^2}=\bruch{d^2}{d(x^2+a^2+2ax)}[/mm] an komm
> ich beim 2ax nicht weiter.
Ist beides Unsinn. Der Differentialquotient ist ein Symbol für die zweite Ableitung. Weder hat der Exponent etwas mit der üblichen Potenz zu tun noch kannst du die Summe einfach auseinanderziehen (mal abgesehen davon, dass weder [mm] $1/(a+x)\not=1/a+1/x$ [/mm] ist, und die Ableitung einer Konstante 0 ist, nicht die Ableitung nach a).
Das ist ein schlampige Schreibweise für die Kettenregel: setze $y=x+a$, dann ist
[mm] \bruch{df}{dx} = \bruch{df}{dy} * \bruch{dy}{dx} = \bruch{df}{dy} [/mm],
also ist die Ableitung nach x dasselbe wie die Ableitung nach y. Das gilt dann natürlich auch für alle höheren Ableitungen.
Anschaulich bedeutet es, dass sich die durch eine Verschiebung der x-Achse um die Konstante a weder Tangentensteigung (1. Ableitung) noch die Krümmung (2. Abl.) ändern.
Viele Grüße
Rainer
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