Differenzquotient Stetigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 13.05.2012 | | Autor: | atseaa |
| Aufgabe | Untersuchen Sie mit dem Differenzquotienten, ob die Funktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
f(x) = [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0 und
f(x) = [mm] \bruch{1}{2} (x+1)^2 [/mm] für x < 0 |
Ich bestimme den links und rechtsseitigen Grenzwert des Differntialquotienten gegen die Stelle x=0:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} \bruch{\bruch{x}{x+1}-\bruch{0}{0+1} }{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0+1} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{\bruch{1}{2} x^2 +x+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{1}{2}x+1 [/mm] = 1
Der gesamte Grenzwert gegen den Wert ist also der selbe, auch beim zeichnen sieht man, dass beide Funktionen in diesem Punkt die selbe Steigung haben. Also wären sie nach der Definition von Differenzierbarkeit differenzierbar.
Ich kenne aber den Satz: "Wenn f bei Stelle a differenzierbar ist, ist f bei a auch stetig."
Es ist aber für x=0:
[mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0+1} [/mm] = 0
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{1}{2}(x+1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Es gibt also in dem Punkt eine Hebestelle.
Wie passt das also zusammen? Einerseits laut Definition differenzierbar, aber nicht stetig, was in dem Satz klar nicht zusammenpasst.
Irgendwas übersehe ich, bitte um Hilfe..
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Es ist [mm] f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}, [/mm] wobei f(0)=0 ist.
Beim 2. Differenzenquotienten hast du aber f(0)=1/2 eingesetzt, d.h. du hast die Funktionsgleichung benutzt, die nur für x<0 gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 13.05.2012 | | Autor: | atseaa |
Aha,
also muss man beim Differenzquotienten etwas aufpassen.
Dann wäre der linksseitige damit:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{\bruch{1}{2}(x+1)^2-0}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x^2+2x+1}{2x}
[/mm]
Mit der Regel von Hospital liefert uns das den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{2x+2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{0+2}{2} [/mm] = 2
Damit stimmen die Grenzwerte nicht überein und die Funktion ist an x=0 nicht differenzierbar.
Stimmt das so?
Man kann also nicht einfach gucken, ob die Ableitung in dem Punkt die selbe ist --- wenn man nicht über den Differenzquotienten geht, entgeht einem die wichtige Info, wie die Sekantensteigung in dem Punkt ist...?
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Hiho,
> also muss man beim Differenzquotienten etwas aufpassen.
ja, vorallem bei der Berechnung, du hast es nämlich bisher bei keinem bisher richtig gemacht, sondern machst Fehler durch schlampiges Aufschreiben....
> Dann wäre der linksseitige damit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{\bruch{1}{2}(x+1)^2-0}{x}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x^2+2x+1}{2x}[/mm]
>
> Mit der Regel von Hospital liefert uns das den Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{2x+2}{2}[/mm] = [mm]\bruch{0+2}{2}[/mm]
Bis hierhin alles ok
> = 2
Das schauen wir uns nochmal an.
> Damit stimmen die Grenzwerte nicht überein und die
> Funktion ist an x=0 nicht differenzierbar.
Du wirst feststellen, dass bei dem Differenzenquotient hier 1 herauskommt.
Wenn deine Schlußfolgerung korrekt ist, hast du dich aber wohl beim ersten auch verrechnet.
Also auch da: Nochmal nachrechnen.
Und bitte diesmal ERST vereinfachen und dann den Grenzwert bilden. So vermeidest du Fehler.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 So 13.05.2012 | | Autor: | donquijote |
> Hiho,
>
> > also muss man beim Differenzquotienten etwas aufpassen.
>
> ja, vorallem bei der Berechnung, du hast es nämlich bisher
> bei keinem bisher richtig gemacht, sondern machst Fehler
> durch schlampiges Aufschreiben....
>
> > Dann wäre der linksseitige damit:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{\bruch{1}{2}(x+1)^2-0}{x}[/mm]
> > = [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x^2+2x+1}{2x}[/mm]
> >
bis hier stimmt's
> > Mit der Regel von Hospital liefert uns das den Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{2x+2}{2}[/mm] = [mm]\bruch{0+2}{2}[/mm]
>
> Bis hierhin alles ok
Das stimmt so nicht. L'Hospital ist nicht anwendbar, da der Zähler in x=0 keine Nullstelle hat.
>
> > = 2
>
> Das schauen wir uns nochmal an.
>
> > Damit stimmen die Grenzwerte nicht überein und die
> > Funktion ist an x=0 nicht differenzierbar.
>
> Du wirst feststellen, dass bei dem Differenzenquotient hier
> 1 herauskommt.
> Wenn deine Schlußfolgerung korrekt ist, hast du dich aber
> wohl beim ersten auch verrechnet.
> Also auch da: Nochmal nachrechnen.
> Und bitte diesmal ERST vereinfachen und dann den Grenzwert
> bilden. So vermeidest du Fehler.
>
> MFG,
> Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:43 So 13.05.2012 | | Autor: | atseaa |
Achja Sorry, natürlich ist der Grenzwert dann
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{2x+2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{0+2}{2} [/mm] = 2/2 = 1
Dann nochmal zum Grenzwert des ersten Differentialquotienten in aller Ausführlichkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm]
Da wir von rechts kommen, ist f(x) = [mm] \bruch{x}{x+1}. [/mm] f(0) ist definiert als [mm] f(0)=\bruch{0}{0+1} [/mm] = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} \bruch{\bruch{x}{x+1}-0}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} \bruch{x}{x^2+x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} \bruch{1}{x+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Gleiches Ergebnis wie oben. Bin ratlos. :(
Ich gehe davon aus, dass dies dann stimmt.
Mit der Mitteilung eben versuche ich noch einmal korrekt den linksseitigen Grenzwert von
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x^2+2x+1}{2x}
[/mm]
zu bestimmen. Schreibe dann in einer neuen Frage.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 13.05.2012 | | Autor: | atseaa |
Es ist also für den linksseitigen Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x^2+2x+1}{2x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x+2+1/x}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{0+2+\bruch{1}{0-0}}{2}
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{0-0} [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] geht, ist
[mm] \bruch{0+2-\infty}{2} [/mm] = [mm] -\infty [/mm]
Damit exisiert kein Grenzwert, die Funktion ist nicht differenzierbar.
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> Es ist also für den linksseitigen Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x^2+2x+1}{2x}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{x+2+1/x}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{0+2+\bruch{1}{0-0}}{2}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{0-0}[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm] geht, ist
>
> [mm]\bruch{0+2-\infty}{2}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> Damit exisiert kein Grenzwert, die Funktion ist nicht
> differenzierbar.
>
genau!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 13.05.2012 | | Autor: | Walspa |
Hallo,
im Grenzwert x gegen 0-0 darf es im Zähler am Schluss nicht heißen -1/2,
weil hier der Funktionswert an der Stelle Null stehen muss, und der ist leider nicht 1/2 sondern 0, da hier in den ersten Funktionsterm eingesetzt werden muss und nicht in den 2.. Der dann zu berechnende Grenzwert ist nicht 1, sondern existiert nicht, d minus unendlich!!! Demnach ist die zusammengesetzte Funktion auch nicht differenzierbar und es ergibt sich zur Nicht-Stetigkeit kein Widerspruch.
Sorry , wenn ich den Formelsatz noch nicht beherrsche.
> Untersuchen Sie mit dem Differenzquotienten, ob die
> Funktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist.
>
> f(x) = [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 0 und
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2} (x+1)^2[/mm] für x < 0
> Ich bestimme den links und rechtsseitigen Grenzwert des
> Differntialquotienten gegen die Stelle x=0:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0} \bruch{\bruch{x}{x+1}-\bruch{0}{0+1} }{x}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{0+1}[/mm] = 1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{\bruch{1}{2} x^2 +x+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}}{x}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{1}{2}x+1[/mm] = 1
>
> Der gesamte Grenzwert gegen den Wert ist also der selbe,
> auch beim zeichnen sieht man, dass beide Funktionen in
> diesem Punkt die selbe Steigung haben. Also wären sie nach
> der Definition von Differenzierbarkeit differenzierbar.
>
> Ich kenne aber den Satz: "Wenn f bei Stelle a
> differenzierbar ist, ist f bei a auch stetig."
>
> Es ist aber für x=0:
>
> [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] = [mm]\bruch{0}{0+1}[/mm] = 0
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0-0} \bruch{1}{2}(x+1)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Es gibt also in dem Punkt eine Hebestelle.
>
> Wie passt das also zusammen? Einerseits laut Definition
> differenzierbar, aber nicht stetig, was in dem Satz klar
> nicht zusammenpasst.
> Irgendwas übersehe ich, bitte um Hilfe..
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 So 13.05.2012 | | Autor: | atseaa |
Hi, damit bestätigst du genau das was ich bis jetzt geschrieben habe, danke dafür!
Habe zwar länger gebraucht für die Aufgabe, aber ordentlich verständnis aufgesogen, auch im Gespräch mit einem Kollegen.
Und man verzeihe mir den unmathematischen Umgang mit unendlich in meiner letzten Frage. :p
(Sollte alles klar sein, die letzten 2 Fragen können geschlossen werden)
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