Differenzierung von e^(x*ln3) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 05.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Ich hab folgende Funktion
[mm] x*3^x
[/mm]
und verzweifle langsam an ihr, da ich einfach nicht auf die Lösung kommen kann! Könnte mir daher bitte jemand helfen?
Mein Lösungsansatz:
Formal müssen wir die Produktregel verwenden.Aber weil [mm] 3^x [/mm] nicht ohne weiteres so ableiten können, müssen wir auch noch den Term [mm] 3^x [/mm] in e^(x*ln(3)) umschreiben. Und anhand dieser benötigen wir auch die Kettenregel:
Erster Schritt:
[mm] 3^x [/mm] + x*
zweiter Schritt(Ableitung von [mm] 3^x):
[/mm]
[mm] 3^x [/mm] * ln(3) + [mm] x*\bruch{1}{x}
[/mm]
Di Lösung ist aber eine andere..Finde meinen Fehler aber nicht...
LG zitrone
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Ich hab folgende Funktion
>
> [mm]x*3^x[/mm]
>
> und verzweifle langsam an ihr, da ich einfach nicht auf die
> Lösung kommen kann! Könnte mir daher bitte jemand
> helfen?
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Formal müssen wir die Produktregel verwenden.Aber weil [mm]3^x[/mm]
> nicht ohne weiteres so ableiten können, müssen wir auch
> noch den Term [mm]3^x[/mm] in e^(x*ln(3)) umschreiben. Und anhand
> dieser benötigen wir auch die Kettenregel:
>
> Erster Schritt:
> [mm]3^x[/mm] + x*
was ist x* dabei? Oder willst Du nur sagen, dass da
$$x [mm] \cdot \text{(hier kommt noch was)}$$ [/mm]
gemeint ist?
> zweiter Schritt(Ableitung von [mm]3^x):[/mm]
> [mm]3^x[/mm] * ln(3) + [mm]x*\bruch{1}{x}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Di Lösung ist aber eine andere..Finde meinen Fehler aber
> nicht...
Der Anfang war richtig, aber ich kapiere da nicht, was Du zwischendrin
machst:
Mach's doch meinetwegen mal ganz penibel:
Setze $u(x):=x\,$ und $v(x):=3^x\,.$
Um $(u*v)'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$ ausnutzen zu können, brauchen wir
$u'(x)=1\,,$
und zudem $v'(x)\,.$
Setze $f(g)=\exp(g)$ und $g(x)=\ln(3)*x\,,$ dann gilt
$$f(g(x))=\exp(\ln(3)*x)=(\exp(\ln(3)))^x=3^x=v(x)$$
und nach der Kettenregel gilt somit (beachte $\tfrac{d}{dx}g(x)=\tfrac{d}{dx}(\ln(3)*x)=\ln(3)$)
$$v'(x)=(f \circ g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)=\underbrace{\exp'}_{=\exp}(\ln(3)*x)*\ln(3)=\ln(3)*\exp(\ln(3)*x)=\ln(3)*3^x\,.$$
Also
$$(u*v)'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)=1*3^x+x*\ln(3)*3^x=3^x*\left(1+x*\ln(3)\right)$$
Dein Fehler ist wohl, dass Du
$$\frac{d}{dx}3^x=\ln(3)*3^x\red{+x*1/x}$$
gerechnet hast, wobei ich nicht weiß, wie Du auf den roten Summanden
gekommen bist:
Die Kettenregel funktioniert halt so:
$$(f \circ g)'(x_0)=\left.\frac{d}{dx}(f \circ g)(x)\right|_{x=x_0}=\left.\frac{d}{dg}f(g)\right|_{g=g(x_0)}\cdot\left. \frac{d}{dx}g(x)\right|_{x=x_0}$$
Findest Du nun Deinen Fehler?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 05.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo Marcel,
erstmal vielen Dank für die Antwort!
> > Hallo!
> >
> > Ich hab folgende Funktion
> >
> > [mm]x*3^x[/mm]
> >
> > und verzweifle langsam an ihr, da ich einfach nicht auf die
> > Lösung kommen kann! Könnte mir daher bitte jemand
> > helfen?
> >
> > Mein Lösungsansatz:
> >
> > Formal müssen wir die Produktregel verwenden.Aber weil [mm]3^x[/mm]
> > nicht ohne weiteres so ableiten können, müssen wir auch
> > noch den Term [mm]3^x[/mm] in e^(x*ln(3)) umschreiben. Und anhand
> > dieser benötigen wir auch die Kettenregel:
> >
> > Erster Schritt:
> > [mm]3^x[/mm] + x*
>
> was ist x* dabei? Oder willst Du nur sagen, dass da
> [mm]x \cdot \text{(hier kommt noch was)}[/mm]
> gemeint ist?
Ja genau, so war es gemeint!:)
Also was im 2ten Schritt passiert ist hätte dann halt nach dem x* kommen müssen.
> > zweiter Schritt(Ableitung von [mm]3^x):[/mm]
> > [mm]3^x[/mm] * ln(3) + [mm]x*\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> >
> > Di Lösung ist aber eine andere..Finde meinen Fehler aber
> > nicht...
>
> Der Anfang war richtig, aber ich kapiere da nicht, was Du
> zwischendrin
> machst:
> Mach's doch meinetwegen mal ganz penibel:
> Setze [mm]u(x):=x\,[/mm] und [mm]v(x):=3^x\,.[/mm]
>
> Um [mm](u*v)'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)[/mm] ausnutzen zu können,
> brauchen wir
>
> [mm]u'(x)=1\,,[/mm]
>
> und zudem [mm]v'(x)\,.[/mm]
>
> Setze [mm]f(g)=\exp(g)[/mm] und [mm]g(x)=\ln(3)*x\,,[/mm] dann gilt
> [mm]f(g(x))=\exp(\ln(3)*x)=(\exp(\ln(3)))^x=3^x=v(x)[/mm]
> und nach der Kettenregel gilt somit (beachte
> [mm]\tfrac{d}{dx}g(x)=\tfrac{d}{dx}(\ln(3)*x)=\ln(3)[/mm])
> [mm]v'(x)=(f \circ g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)=\underbrace{\exp'}_{=\exp}(\ln(3)*x)*\ln(3)=\ln(3)*\exp(\ln(3)*x)=\ln(3)*3^x\,.[/mm]
>
> Also
>
> [mm](u*v)'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)=1*3^x+x*\ln(3)*3^x=3^x*\left(1+x*\ln(3)\right)[/mm]
>
> Dein Fehler ist wohl, dass Du
> [mm]\frac{d}{dx}3^x=\ln(3)*3^x\red{+x*1/x}[/mm]
> gerechnet hast, wobei ich nicht weiß, wie Du auf den
> roten Summanden
> gekommen bist:
Ich dachte halt, dass ich die Produktregel verwenden muss, wenn ich das x*ln(3) ableiten muss..Ich bin wohl deshlab irritiert gewesen, weil das x vor dem ln steht und nicht nach dem ln...
Daher dachte ich,dass wenn die Produktregel an x*ln(3) angewendet werden muss, dann heißt es:
[mm]3^x[/mm] * ln(3) + [mm]x*\bruch{1}{x}[/mm]
> Die Kettenregel funktioniert halt so:
> [mm](f \circ g)'(x_0)=\left.\frac{d}{dx}(f \circ g)(x)\right|_{x=x_0}=\left.\frac{d}{dg}f(g)\right|_{g=g(x_0)}\cdot\left. \frac{d}{dx}g(x)\right|_{x=x_0}[/mm]
>
> Findest Du nun Deinen Fehler?
Um zu sehen, ob ich es wirklich verstanden habe würde ich noch eine solche Aufgabe vorrechnen wollen!:
[mm] x^{\wurzel[]{x}} [/mm] = [mm] e^{x^\bruch{1}{2}}*ln(x))
[/mm]
[mm] x^{\wurzel[]{x}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}} [/mm] * ln(x) + [mm] x^\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x}
[/mm]
LG zitrone
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo zitrone,
magst Du eigentlich keine Klammern - oder warum verwendest Du sie nicht? 
> > Dein Fehler ist wohl, dass Du
> > [mm]\frac{d}{dx}3^x=\ln(3)*3^x\red{+x*1/x}[/mm]
> > gerechnet hast, wobei ich nicht weiß, wie Du auf den
> > roten Summanden
> > gekommen bist:
>
> Ich dachte halt, dass ich die Produktregel verwenden muss,
> wenn ich das x*ln(3) ableiten muss..Ich bin wohl deshlab
> irritiert gewesen, weil das x vor dem ln steht und nicht
> nach dem ln...
[mm] \ln{3} [/mm] ist doch eine Konstante und gar nicht von x abhängig. Daher: keine Produktregel nötig. Allerdings schadet sie auch nicht, solange Dir klar ist, dass die Ableitung einer Konstanten Null ist.
> Um zu sehen, ob ich es wirklich verstanden habe, würde ich
> noch eine solche Aufgabe vorrechnen wollen!:
>
> [mm]x^{\wurzel[]{x}}[/mm] = [mm]e^{x^\bruch{1}{2}}*ln(x))[/mm]
Hier ist eine Klammer am Ende zuviel. Wenn vor dem [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] im Exponenten auch schon eine gestanden hätte, wäre vielleicht klarer, was gemeint ist. Es reicht aber auch, einfach richtig zu schreiben:
[mm] f(x)=x^{\wurzel{x}}=e^{x^{\bruch{1}{2}}*\ln{(x)}}
[/mm]
Als nächstes macht es keinen Sinn, einfach die Ableitung hinzuschreiben. Auch dann nicht, wenn sie richtig ist. Das kannst Du auf Deinen Notizzetteln tun, aber nicht bei Abgabe einer Aufgabe. Man muss doch wenigstens nachvollziehen können, was Du gerade tust bzw. tun willst.
> [mm]x^{\wurzel[]{x}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}[/mm] * ln(x) + [mm]x^\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x}[/mm]
Das stimmt auch dann nicht, wenn es die Ableitung sein soll.
Richtig ist
[mm] f'(x)=e^{x^{\bruch{1}{2}}*\ln{(x)}}*\left(\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}*\ln{(x)}+x^{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{x}\right)=x^{\wurzel{x}}*\left(\bruch{\ln{(x)}}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{\wurzel{x}}\right)=\left(1+\bruch{1}{2}\ln{(x)}\right)*x^{\wurzel{x}-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 05.02.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo reverend!
> Hallo zitrone,
>
> magst Du eigentlich keine Klammern - oder warum verwendest
> Du sie nicht?
Hab nicht dran gedacht:P
> > > Dein Fehler ist wohl, dass Du
> > > [mm]\frac{d}{dx}3^x=\ln(3)*3^x\red{+x*1/x}[/mm]
> > > gerechnet hast, wobei ich nicht weiß, wie Du auf
> den
> > > roten Summanden
> > > gekommen bist:
> >
> > Ich dachte halt, dass ich die Produktregel verwenden muss,
> > wenn ich das x*ln(3) ableiten muss..Ich bin wohl deshlab
> > irritiert gewesen, weil das x vor dem ln steht und nicht
> > nach dem ln...
>
> [mm]\ln{3}[/mm] ist doch eine Konstante und gar nicht von x
> abhängig. Daher: keine Produktregel nötig. Allerdings
> schadet sie auch nicht, solange Dir klar ist, dass die
> Ableitung einer Konstanten Null ist.
>
> > Um zu sehen, ob ich es wirklich verstanden habe, würde ich
> > noch eine solche Aufgabe vorrechnen wollen!:
> >
> > [mm]x^{\wurzel[]{x}}[/mm] = [mm]e^{x^\bruch{1}{2}}*ln(x))[/mm]
>
> Hier ist eine Klammer am Ende zuviel. Wenn vor dem
> [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm] im Exponenten auch schon eine gestanden
> hätte, wäre vielleicht klarer, was gemeint ist. Es reicht
> aber auch, einfach richtig zu schreiben:
>
> [mm]f(x)=x^{\wurzel{x}}=e^{x^{\bruch{1}{2}}*\ln{(x)}}[/mm]
>
> Als nächstes macht es keinen Sinn, einfach die Ableitung
> hinzuschreiben. Auch dann nicht, wenn sie richtig ist. Das
> kannst Du auf Deinen Notizzetteln tun, aber nicht bei
> Abgabe einer Aufgabe. Man muss doch wenigstens
> nachvollziehen können, was Du gerade tust bzw. tun
> willst.
>
> > [mm]x^{\wurzel[]{x}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}[/mm] * ln(x) +
> [mm]x^\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Das stimmt auch dann nicht, wenn es die Ableitung sein
> soll.
> Richtig ist
>
> [mm]f'(x)=e^{x^{\bruch{1}{2}}*\ln{(x)}}*\left(\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}*\ln{(x)}+x^{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{x}\right)=x^{\wurzel{x}}*\left(\bruch{\ln{(x)}}{2\wurzel{x}}+\bruch{1}{\wurzel{x}}\right)=\left(1+\bruch{1}{2}\ln{(x)}\right)*x^{\wurzel{x}-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
Ok hab meinen Fehler gesehen und werd es in Zukunft richtig machen!:)
LG zitrone
|
|
|
|
