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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Gegeben sind die vektorwertigen Funktionen [mm] \vec{a}(x) [/mm] und [mm] \vec{b}(x) [/mm] sowie die skalare Funktion f(x). Überprüfen sie, indem sie ausnutzen, dass Vektoren komponenten differenziert werden.
(i) [mm] \bruch{d}{dx}(\vec{a}(x)*\vec{b}(x)) [/mm] = [mm] \bruch{d\vec{a}}{dx}*\vec{b}+\vec{a}*\bruch{d\vec{a}}{dx}
[/mm]
(ii) [mm] \bruch{d}{dx}(f(x)*\vec{a}(x)) [/mm] = [mm] \bruch{df}{dx}*\vec{a}+f(x)*\bruch{d\vec{a}}{dx}
[/mm]
(iii) [mm] \bruch{d}{dx}(\vec{a}(x)x\vec{b}(x)) [/mm] = [mm] \bruch{d\vec{a}}{dx}x\vec{b}+\vec{a}x\bruch{d\vec{a}}{dx} [/mm] |
Guten Abend liebe Mathe Community :)
Ich habe ein paar Fragen
1. "Überprüfen" heißt ja ich muss es nur nachrechnen, aber nicht beweisen oder?
2. Es wird in alle 3 Fällen [(i)-(iii)] ja einfach die Produktregel angewandt, was man ja auch auf einem Blick sofort sieht. Versteh nicht ganz, was es da noch zu überprüfen gilt?!
3. Dazu dann auch gleich die (vorerst) letzte Frage:
Sieht so die Ableitung einer Vektorwertigen Funktion aus:
[mm] \vec{a}'=\vektor{a_{1}'(x) \\ a_{2}'(x) \\ ... \\ a_{n}'(x) }
[/mm]
Ih versuch mich gleich mal an (i) wobei ich das ganze wegen "2." noch relativ nutzlos finde:
[mm] \bruch{d}{dx}(\vec{a}(x)*\vec{b}(x)) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx} [a_{1}(x)*b_{1}(x) [/mm] + [mm] a_{2}(x)*b_{2}(x) [/mm] + ... + [mm] a_{n}(x)*b_{n}(x)]
[/mm]
Jetzt muss ich in der Klammer ja auch die Produktregel anwenden?!
[mm] =[a_{1}'(x)*b_{1}(x) +a_{1}(x)*b_{1}'(x)]+ [a_{2}'(x)*b_{2}(x)+a_{2}(x)*b_{2}'(x)]+ [/mm] ... + [mm] [a_{n}'(x)*b_{n}(x)+a_{n}(x)*b_{n}'(x)]
[/mm]
So nun die andere Seite
[mm] \bruch{d\vec{a}}{dx}*\vec{b}+\vec{a}*\bruch{d\vec{a}}{dx}=
[/mm]
[mm] \vektor{a_{1}'(x) \\ a_{2}'(x) \\ ... \\ a_{n}'(x) }*\vec{b}+\vec{a}*\vektor{b_{1}'(x) \\ b_{2}'(x) \\ ... \\ b_{n}'(x) }
[/mm]
So das jetzt ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt das Obere.
(Hoffe ich hab mich vor lauter Zeichen jetzt nicht vertand)
Edit:
Bei (ii)
Was ist denn [mm] f(x)*\vec{a}(x)? [/mm]
Ist das das Gleiche wie bei (i) nur diesmal mit Skalar*Vektor=Vektor und nicht Vektor*Vektor=Skalar?
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Hallo Sup,
> Gegeben sind die vektorwertigen Funktionen [mm]\vec{a}(x)[/mm] und
> [mm]\vec{b}(x)[/mm] sowie die skalare Funktion f(x). Überprüfen
> sie, indem sie ausnutzen, dass Vektoren komponenten
> differenziert werden.
> (i) [mm]\bruch{d}{dx}(\vec{a}(x)*\vec{b}(x))[/mm] =
> [mm]\bruch{d\vec{a}}{dx}*\vec{b}+\vec{a}*\bruch{d\vec{a}}{dx}[/mm]
> (ii) [mm]\bruch{d}{dx}(f(x)*\vec{a}(x))[/mm] =
> [mm]\bruch{df}{dx}*\vec{a}+f(x)*\bruch{d\vec{a}}{dx}[/mm]
> (iii) [mm]\bruch{d}{dx}(\vec{a}(x)x\vec{b}(x))[/mm] =
> [mm]\bruch{d\vec{a}}{dx}x\vec{b}+\vec{a}x\bruch{d\vec{a}}{dx}[/mm]
>
>
> Guten Abend liebe Mathe Community :)
>
> Ich habe ein paar Fragen
>
> 1. "Überprüfen" heißt ja ich muss es nur nachrechnen,
> aber nicht beweisen oder?
Ja.
>
> 2. Es wird in alle 3 Fällen [(i)-(iii)] ja einfach die
> Produktregel angewandt, was man ja auch auf einem Blick
> sofort sieht. Versteh nicht ganz, was es da noch zu
> überprüfen gilt?!
Die Gültigkeit der genannten Rechenregeln.
>
> 3. Dazu dann auch gleich die (vorerst) letzte Frage:
> Sieht so die Ableitung einer Vektorwertigen Funktion aus:
> [mm]\vec{a}'=\vektor{a_{1}'(x) \\ a_{2}'(x) \\ ... \\ a_{n}'(x) }[/mm]
Ja.
>
> Ih versuch mich gleich mal an (i) wobei ich das ganze wegen
> "2." noch relativ nutzlos finde:
>
> [mm]\bruch{d}{dx}(\vec{a}(x)*\vec{b}(x))[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx} [a_{1}(x)*b_{1}(x)[/mm]
> + [mm]a_{2}(x)*b_{2}(x)[/mm] + ... + [mm]a_{n}(x)*b_{n}(x)][/mm]
> Jetzt muss ich in der Klammer ja auch die Produktregel
> anwenden?!
Ja
>
> [mm]=[a_{1}'(x)*b_{1}(x) +a_{1}(x)*b_{1}'(x)]+ [a_{2}'(x)*b_{2}(x)+a_{2}(x)*b_{2}'(x)]+[/mm]
> ... + [mm][a_{n}'(x)*b_{n}(x)+a_{n}(x)*b_{n}'(x)][/mm]
>
> So nun die andere Seite
>
> [mm]\bruch{d\vec{a}}{dx}*\vec{b}+\vec{a}*\bruch{d\vec{a}}{dx}=[/mm]
> [mm]\vektor{a_{1}'(x) \\ a_{2}'(x) \\ ... \\ a_{n}'(x) }*\vec{b}+\vec{a}*\vektor{b_{1}'(x) \\ b_{2}'(x) \\ ... \\ b_{n}'(x) }[/mm]
>
> So das jetzt ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt
> das Obere.
Ersetze [mm]\vec{a}=\vektor{a_{1}(x) \\ a_{2}(x) \\ ... \\ a_{n}(x) }[/mm] und [mm]\vec{b}=\vektor{b_{1}(x) \\ b_{2}(x) \\ ... \\ b_{n}(x) }[/mm]
>
> (Hoffe ich hab mich vor lauter Zeichen jetzt nicht
> vertand)
>
> Edit:
> Bei (ii)
> Was ist denn [mm]f(x)*\vec{a}(x)?[/mm]
> Ist das das Gleiche wie bei (i) nur diesmal mit
> Skalar*Vektor=Vektor und nicht Vektor*Vektor=Skalar?
Nein, das ist nicht das "Gleiche".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Di 17.05.2011 | | Autor: | Sup |
> > Edit:
> > Bei (ii)
> > Was ist denn [mm]f(x)*\vec{a}(x)?[/mm]
> > Ist das das Gleiche wie bei (i) nur diesmal mit
> > Skalar*Vektor=Vektor und nicht Vektor*Vektor=Skalar?
>
>
> Nein, das ist nicht das "Gleiche".
Ja klar exakt das Gleich ist es nicht, aber es ist doch das gleiche Rechenprinzip/Rechenstruktur wie bei (i), nur, dass man man Ende einen Vektor sehen hat.
Nur ist jetzt [mm] f(x)\vec{a}= \vektor{f(x)a_{1}(x) \\ f(x)a_{2}(x) \\ ... \\ f(x)a_{n}(x) }
[/mm]
Oder was ergibt das sonst?
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Hallo Sup,
> > > Edit:
> > > Bei (ii)
> > > Was ist denn [mm]f(x)*\vec{a}(x)?[/mm]
> > > Ist das das Gleiche wie bei (i) nur diesmal mit
> > > Skalar*Vektor=Vektor und nicht Vektor*Vektor=Skalar?
> >
> >
> > Nein, das ist nicht das "Gleiche".
> Ja klar exakt das Gleich ist es nicht, aber es ist doch
> das gleiche Rechenprinzip/Rechenstruktur wie bei (i), nur,
> dass man man Ende einen Vektor sehen hat.
> Nur ist jetzt [mm]f(x)\vec{a}= \vektor{f(x)a_{1}(x) \\
f(x)a_{2}(x) \\
... \\
f(x)a_{n}(x) }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Oder was ergibt das sonst?
Ja, so stimmt's, $f$ ist ja als skalare Funktion vorausgesetzt.
Nun ableiten ...
Gruß
schachuzipus
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