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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Do 26.11.2009 | | Autor: | Reinalem |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen und vereinfachen Sie soweit wie möglich.
a) [mm] y=\wurzel{1+ \wurzel {x}}
[/mm]
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Hallo,
ich hab versucht die Aufgabe zu lösen indem ich die Wurzeln in Potenzen umwandle, weil mir die Ableitungsregel für Potenzen bekannt ist, die für Wurzeln nicht.
a)
y = (1 + [mm] x^{\bruch{1}{2}})^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] y'=0,5*(0,5x^{-\bruch{1}{2}})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] 0,5*0,5^{-\bruch{1}{2}}*x^\bruch{1}{4}
[/mm]
= [mm] 0,5*-\wurzel{0,5*\wurzel{x}}
[/mm]
Nebenrechnung
y= [mm] 0,5(1+x^\bruch{1}{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
Zu der Aufgabe hab ich eine Musterlösung:
y'= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{1+\wurzel{x}}}*\bruch{1}{2{\wurzel{x}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4\wurzel{x*(1+\wurzel{x})}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4\wurzel{x+x\wurzel{x})}}
[/mm]
Gibt es eine Regel zur Bildung der Ableitung von Wurzeln?
Warum bleibt die 1 bei der Ableitung erhalten?
Viele Grüße
Melanie
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Hallo,
> Ermitteln Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen und
> vereinfachen Sie soweit wie möglich.
>
> a) [mm]y=\wurzel{1+ \wurzel {x}}[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich hab versucht die Aufgabe zu lösen indem ich die
> Wurzeln in Potenzen umwandle, weil mir die Ableitungsregel
> für Potenzen bekannt ist, die für Wurzeln nicht.
>
Ja das ist schon mal eine gute Idee.
> a)
>
> y = (1 + [mm]x^{\bruch{1}{2}})^\bruch{1}{2}[/mm]
>
ok ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Du hast schon mal richtig umgewandelt.
> [mm]y'=0,5*(0,5x^{-\bruch{1}{2}})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
Nur hier leider ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Deine Rechnung verstehe ich nicht. Welche Regel der Differentation hast du denn angewendet?
Du musst die Kettenregel anwenden.
Wenn du es mit den Potenzen machen willst dann musst du das so machen. (Unten zeige ich dir wie man es macht ohne in Potenzen umzuwandeln)
Nun es ist:
[mm] \\y=(1+x^{\bruch{1}{2}})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nun wenden wir die Kettenregel an die da lautet:
[mm] \\y'=u'(v(x))*v'(x) [/mm] mit [mm] \\v(x)= [/mm] innere Funktion , [mm] \\u(x)= [/mm] äußere Funktion
[mm] \\u(x)=x^{\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \\v(x)=1+x^{\bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] v'(x)=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{2}(1+x^{\bruch{1}{2}})^{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{4}(1+x^{\bruch{1}{2}})^{-\bruch{1}{2}}*x^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{4\wurzel{1+\wurzel{x}}\wurzel{x}}=\bruch{1}{4\wurzel{x*(1+\wurzel{x})}}=\bruch{1}{4\wurzel{x+x\wurzel{x})}}
[/mm]
> = [mm]0,5*0,5^{-\bruch{1}{2}}*x^\bruch{1}{4}[/mm]
> = [mm]0,5*-\wurzel{0,5*\wurzel{x}}[/mm]
>
>
>
>
> Nebenrechnung
>
> y= [mm]0,5(1+x^\bruch{1}{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> Zu der Aufgabe hab ich eine Musterlösung:
>
> y'=
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{1+\wurzel{x}}}*\bruch{1}{2{\wurzel{x}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4\wurzel{x*(1+\wurzel{x})}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4\wurzel{x+x\wurzel{x})}}[/mm]
>
Wie du siehst gabs bei der Musterlösung nur 3 Schritte und mehr braucht man eigentlich nicht. Ich sage dir wie die darauf gekommen sind.
Zunächst einmal solltest du wissen dass die Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] nichts anderes ist als [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Allgemein: [mm] y=\wurzel{irgendwas} [/mm] dann ist [mm] y'=\bruch{1}{2\wurzel{irgendwas}}
[/mm]
Nun nehmen wir die unveränderte Funktion her:
[mm] y=\wurzel{1+\wurzel{x}}
[/mm]
Auch hier brauchen wir die Kettenregel (s.o)
[mm] u=\wurzel{irgendwas}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2\wurzel{irgendwas}}
[/mm]
[mm] v=1+\wurzel{x}
[/mm]
[mm] v'=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Indem fall ist irgendwas=v(x) da ja v(x) die verkettete Funktion ist.
[mm] y'=\bruch{1}{2\wurzel{1+\wurzel{x}}}*\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
Dann siehe Musterlösung oder meine Rechnug oben wo ich in Potenzen umgewandelt habe und vereinfacht habe.
Ist es dir ein wenig klarer geworden. Ich hoffe ich habe dich nicht zu sehr verwirrt 
> Gibt es eine Regel zur Bildung der Ableitung von Wurzeln?
> Warum bleibt die 1 bei der Ableitung erhalten?
>
> Viele Grüße
>
> Melanie
>
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Do 26.11.2009 | | Autor: | Reinalem |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich hab versucht den Ausdruck wie eine einzelne Funktion der Form [mm] x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] zu behandeln.
Woher kommt das x der äußeren Funktion?
Viele Grüße
Melanie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melanie!
> > > Woher kommt das x der äußeren Funktion?
>
> u(x)= [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Die äußere Funktion ist hier $u(x) \ = \ [mm] (\text{irgendwas})^{\red{+}\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Und auch die innerste Funktion lautet [mm] $x^{\red{+}\bruch{1}{2}}$ [/mm] .
> Gibt es eine Möglichkeit einen anderen Artikel zu
> zitieren, als den auf den ich reagiere?
> Ich wollte einen weiter oben aus dem Strang zitieren.
Klicke den entsprechenden Artikel an und schreibe dazu eine weitere Frage. Dann kannst Du diesen anderen Artikel zitieren. Es geht also nur mit unmittelbar einem Artikel.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:45 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Reinalem |
Hallo,
>Hallo Melanie!
>
>
>
> > > > Woher kommt das x der äußeren Funktion?
> >
> > u(x)= [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> Die äußere Funktion ist hier [mm]u(x) \ = \ (\text{irgendwas})^{\red{+}\bruch{1}{2}}[/mm]
>
Danke für den Hinweis, das mit dem - war ein Tippfehler.
> Und auch die innerste Funktion lautet
> [mm]x^{\red7+}\bruch{1}{2}}[/mm] .
Woher kommt [mm] x^{\red7} [/mm] ?
>
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Viele Grüße
Melanie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melanie!
> Woher kommt [mm]x^{\red7}[/mm] ?
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Das war nun mein Tippfehler (ist oben nunmehr korrigiert).
Gruß
Loddar
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