Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 15.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei U [mm] \to \IR^{2} [/mm] offen und F:U [mm] \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \to [/mm] F(x,y) eine differenzierbare Funktion. Ausserdem sei eine differenzierbare Funktion einer Veränderlichen g: I [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] g(x) vorgegeben. Der Graph von g sei in U enthalten und es gelte F(x,g(x)) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] I.
Differenzieren Sie die Gleichung nach x. |
Als Resultat sollte [mm] D_{1}F(x,g(x)) [/mm] + [mm] D_{2}F(x,g(x))*g'(x) [/mm] = 0 herauskommen.
Was mir aber nicht klar ist, ist das "+". Weshalb kommt dort ein "+" vor?
Man sollte die Aufgabe doch mit Hilfe der Kettenregel lösen, aber bei dieser kommt doch auch kein "+" vor?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen!
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Hey,
es ist [mm] $\frac{\partial F}{\partial x}(x,g(x)) [/mm] = [mm] \nabla [/mm] F(x,g(x)) $*$ (1,g'(x)) = $
wobei * das Skalarprodukt bezeichnet.
Kommst du nun weiter?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 16.07.2008 | | Autor: | jokerose |
hm, also irgendwie sehe ichs immer noch nicht ganz.
Weshalb muss man hier dann den Gradienten nehmen? Es heisst ja in der Aufgabe "Differenzieren nach x". Sind denn da nicht einfach die partiellen Ableitungen gefragt?
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Hallo!
Differenzieren nach x ist doch letztendlich die Antwort auf:
"Um wie viel verändert sich der Funktionswert, wenn man x leicht variiert?"
Das problem hier: wenn du an x drehst, ändert sich auch g(x). Die Funktion F wird also nicht nur mit einer Veränderung ihrer x-Komponente konfrontiert, auch ihre y-Komponente erfährt eine Änderung, weil diese ja durch die x-abhängige Funktion g gegeben wird.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:33 Mi 16.07.2008 | | Autor: | jokerose |
> >
> Das problem hier: wenn du an x drehst, ändert sich auch
> g(x). Die Funktion F wird also nicht nur mit einer
> Veränderung ihrer x-Komponente konfrontiert, auch ihre
> y-Komponente erfährt eine Änderung, weil diese ja durch die
> x-abhängige Funktion g gegeben wird.
Ist dies also der Grund, weshalb hier der Gradient genommen werden muss?
Aber mir sind die einzelnen Schritte immer noch nicht klar, wie man auf das Ergebnis kommt:
[mm] D_{1}F(x,g(x)) [/mm] + [mm] D_{2}F(x,g(x))\cdot{}g'(x) [/mm] = 0
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Es handelt sich hier um ein totales Differenzial:
[mm] dF(x,y)=\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}dx+\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}dy [/mm] =0
und damit
[mm] \bruch{dF(x,y)}{dx}=\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}\bruch{dx}{dx}+\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}\bruch{dy}{dx} [/mm] =0
Da y=g(x) ist, ist [mm] \bruch{dy}{dx}=g'(x) [/mm] und deshalb
[mm] \bruch{dF(x,y)}{dx}=\bruch{\partial F(x,y)}{\partial x}+\bruch{\partial F(x,y)}{\partial y}g'(x) [/mm] =0
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