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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{x}}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich versuche diese Funktion zu differenzieren.
Also so weit bin ich schon gekommen:
[mm] \wurzel{1+\bruch{1}{\wurzel{x}}} [/mm] ist ja das gleiche wie [mm] (1+\bruch{1}{\wurzel{x}})^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Um zu differenzieren muss ich äussere Ableitung mal innere Ableitung, dh:
[mm] \bruch{1}{2}({1+\bruch{1}{\wurzel{x}}})^{\bruch{-1}{2}} [/mm] * [mm] (\bruch{-1}{2x\wurzel{x}})
[/mm]
Den Ausdruck [mm] (\bruch{-1}{2x\wurzel{x}}) [/mm] = [mm] (\bruch{-1}{2x*x^\bruch{1}{2}}) [/mm] kann ich "vereinfachen" oder? zu [mm] \bruch{-1}{2x^{\bruch{3}{2}}} [/mm] oder besser [mm] \bruch{-1}{2}x^{\bruch{3}{2}}.
[/mm]
Ab jetzt hänge ich irgendwie, ich hab so weitergerechnet:
[mm] \bruch {-1}{2(1+\bruch{1}{\wurzel{x}})^{\bruch{-1}{2}} *2x^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
Rauskommen soll mir [mm] \bruch{-1}{4x\wurzel{x+\wurzel{x}}}, [/mm] nur mir fehlen ein paar schritte dazwischen. Wie komme ich auf diese Lösung?
Hab ich irgendwo einen Denkfehler?
Bitte helft mir.
Lg Aeryn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Rene |
Du hast einen schwerwiegenden Rechenfehler gemacht. Die innere Ableitung lautet
[mm] \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-\frac{1}{2}}\right) [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} =-\frac{1}{2x\sqrt{x}}
[/mm]
wenn du nun weitermachst erhälst du
[mm] \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}\frac{-1}{2x\sqrt{x}}
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{4x}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}
[/mm]
das kannst du nach den Wurzel-Gesetzen zusammenfassen
[mm] -\frac{1}{4x}\frac{1}{\sqrt{x+\frac{x}{\sqrt{x}}}}
[/mm]
Du kannst [mm] \frac{x}{\sqrt{x}} [/mm] auch schreiben als
[mm] \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} [/mm] = [mm] x*x^{-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}
[/mm]
Somit erhälst du
[mm] \frac{d}{dx}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{4x\sqrt{x+\sqrt{x}}}
[/mm]
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Aeryn |
Oh mann, danke. Hab stunden daran rumgerechnet und immer hat mir mind. x gefehlt und so.
1000 Dank.
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