Differenzierbarkeitskriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
| Aufgabe | Gegeben ist die auf [mm] \IR [/mm] definierte Funktionenschar f a,b mit a,b [mm] \in \IR [/mm] und f a,b [mm] (x)=\begin{cases} 2bx, & \mbox{für } x \mbox{ < = 1} \\ ax^2+1, & \mbox{für } x \mbox{ > 1} \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie a,b so, daß f a,b überall stetig und differenzierbar ist. |
Das Problem ist ich finde nichtmal eine Art von Ansatz und so richtig Ahnung was ich genau machen muß hab ich auch nicht. Soweit ich meinen Unterlagen entnehmen kann glaube ich es hat was mit dem Mittelwertsatz zu tun. Noch kann ich mir auch nicht wirklich was drunter vorstellen. Ich schildere jetzt mal meine Vorstellung. Ich habe einen Graphen f in Abhängigkeit von x auf dem die Punkte a,b liegen. a und b muß ich so wählen das der Graph f keine Sprünge hat ,also stetig ist, und ich muß ihn ableiten können ,also differenzierbar. Wenn ich die "beiden" Funktionen seperat ableite kann ich dann schon sagen das f a,b differenzierbar ist? Was ist mit x0 gemeint? Extremwerte oder Wendepunkte. Das ganze soll ich irgendwie mit Limes machen.
Danke schon mal für die Hilfe.
Gruß Jodib
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es kommt doch eigentlich nur auf den Übergang an, nämlich da wo x=1 ist.
Hier soll die Funktion stetig sein, d.h. die Funktionswerte müssen an der Stelle x=1 gleich sein, denn dann hast du schonmal einen Übergang "ohne Sprung".
Damit die Funktion an der Stelle x=1 differenzierbar ist, müssen die beiden Teilfunktionen "knickfrei" ineinander über gehen, sprich: Sie müssen die selbe Steigung an der Stelle x=1 haben.
Das sollten die Bedingungen sein, die du ansetzen musst.
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
also muß ich es einmal aufteilen in
f a (1) = f b (1)
a+1 = 2b
da weiß ich dann schonmal nicht weiter.
und
f´a (1) = f´b (1)
2a = 2b
das kommt mir spanisch vor. Oder ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Ist soweit auf den ersten Blick richtig.
Nun hast du ein LGS:
Zwei GLeichungen und zwei Unbekannte.
Dann einsetzten (hier bietet sich an, das 2b in der erstn Gleichung durch 2a zu erstezen, wie es die zweite Gleichung vorgibt), und dann hast du ein Ergebnis für a.
Dann über die Relation 2a=2b => a=b b berechnen.
Gruß,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
also a = 1 und b = 1
mit diesen beiden Werten ist f a,b(x) überall stetig und differenzierbar. Also wenn ich das richtig verstanden habe nur mit diesen beiden Werten. Jetzt soll ich das Ganze aber nicht über ein LGS lösen, sondern mit Limes.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jodib!
Die Grenzwertbetrachtungen führen ja unmittelbar auf dieses Gleichungssystem:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f_{a,b}(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f_{a,b}(x)$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}2b*x [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}a*x^2+1$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f_{a,b}'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f_{a,b}'(x)$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}2b [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}2a*x$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
Und genau das ist das wo es drauf ankommt und ich verstehe noch nicht wie es funktioniert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 28.03.2007 | | Autor: | belimo |
Ich muss ehrlich sagen, die Schreibweise Loddar auch nicht 100% zu verstehen, aber ich versuche mal die gepostete Aufgabe in deinem ersten Post in eigenen Worten zu erklären:
Du hast ja zwei Teilfunktionen, welche stetig und differenzierbar sein sollen. Zuerst ist wichtig die Begriffe stetig/differenzierbar zu kennen.
Stetig: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keinen "Knick" hat.
Differenzierbar: Eine Funktion ist differenzierbar, wenn man "die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt x herauslesen kann. Wenn eine Funktion also einen Knick hat, kann man sie nicht differenzieren. Vielleicht hilft es, einmal kurz eine Skizze zu zeichen. Soweit verstanden?
Wenn ja kann es weitergehen:
Dein Problem sind ja zwei Variabeln, die du bestimmen sollst. Du brauchst also zwei Gleichungen. Nun musst du versuchen die zwei Gleichungen zu bestimmen (das wollte dir Loddar mit den Grenzwerten zeigen).
Meine Erklärung: Beide Teilfunktionen habe genau zwei Dinge gemeinsam.
Erstens ist die Ableitung beider Funktionen im Punkt x=1 identisch
Zweitens ist der y-Wert beider Funktionen im Punkt x=1 identisch.
Nun kannst du also beide Funktionen ableiten und daraus die erste Gleichung bilden, dann beide Funktionen (nicht abgeleitet) gleichsetzen und du hast die zweite Gleichung.
Alles klar? 
Gruss belimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
aber es war ja nochmal schön mit Worten zusammengefasst. Hilft also dem Verständnis.
Gruß
jodib
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
Ja eine Skizze hab ich schon gemacht also wenn a=1 und b=1. Gelöst ist die Aufgabe jetzt schon. Das Essenzielle ist jetzt nur noch das ich das anhand von Limes können muß und das ist mir noch nicht klar wie es funktioniert.
Gruß
jodib
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Hallo jodip,
das hat Loddar doch oben erklärt
also einig sind sich alle, dass [mm] x_0=1 [/mm] der einzig kritische Punkt für die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit sit, oder?
Gut soweit: f ist stetig in [mm] x_0 [/mm] bedeutet mathematisch, dass der rechtsseitige GW [mm] \limes_{x\downarrow x_0}f(x) [/mm] und der linksseitige GW [mm] \limes_{x\uparrow x_0}f(x) [/mm] gleich sind
Das führte zu der ersten Gleichung in Loddars post:
[mm] \limes_{x\downarrow 1}f(x)=\limes_{x\downarrow 1}(ax^2+1) [/mm] denn so ist f "rechts von 1" definiert (also für x>1)
und [mm] \limes_{x\uparrow 1}f(x)=\limes_{x\downarrow 1}(2bx) [/mm] denn so ist f "links von 1" definiert (also für [mm] x\le [/mm] 1)
Also die erste [mm] Gleichung:\limes_{x\downarrow 1}(ax^2+1)=\limes_{x\downarrow 1}(2bx) \gdw a\cdot{}1^2+1=2b\cdot{}1 \gdw [/mm] a+1=2b
Die zweite Gleichung folgt dann aus der Betrachtung des Verhaltens der beiden "Teilfunktionsableitungen" an der Stelle 1 - wieder links- und rechtsseitig- und beide GW müssen gleich sein (s. Loddars post)
Das gibt dir also 2 Gleichungen, mit denen du ganz bequem a und b berechnen kannst.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Mi 28.03.2007 | | Autor: | jodib |
Ja ich glaub jetzt ist es klar.
Danke an alle die sich die Mühe gemacht haben.
Gruß
jodib
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