Differenzierbarkeitsbeweis < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] $U=U_{\epsilon}(a)$ [/mm] und $f:U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] in [mm] $\dot{U}=U \backslash \{a\}$ [/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x)$ existiert, dann ist $f$ in $a$ differenzierbar und es gilt [mm] $f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)$ [/mm] |
Hallo,
Wofür steht das Epsilon bei [mm] $U_{\epsilon}? [/mm] Was bedeutet der Punkt über [mm] $\dot{U}$ [/mm] ?
Es wird angenommen dass f' differenzierbar ist (also die 2te ableitung existiert) und ich soll zeigen dass f ebenfalls differenzierbar sein muss und f' auch stetig.
Wenn ich das mit dem Mittelwertsatz beweisen will, dann brauche ich ja die Stetigkeit schon, aber die muss ich zeigen...
Womit zeige ich das??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Do 03.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo kushkush,
> Es sei [mm]U=U_{\epsilon}(a)[/mm] und [mm]f:U \rightarrow \IR[/mm] in
> [mm]\dot{U}=U \backslash \{a\}[/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f'(x)[/mm] existiert, dann ist [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm]
> differenzierbar und es gilt [mm]f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)[/mm]
>
> Hallo,
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> Wofür steht das Epsilon bei [mm]$U_{\epsilon}?[/mm] Was bedeutet
> der Punkt über [mm]\dot{U}[/mm][/mm] ?
[mm]U_\varepsilon(a)[/mm] soll wohl eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]a[/mm] sein, d.h. [mm]U_\varepsilon(a)=\{x\ |\ |x-a|<\varepsilon\}[/mm] und [mm]\dot{U}[/mm] ist quasi das "punktierte" [mm]U[/mm], also [mm]U[/mm] ohne den Punkt [mm]a[/mm].
> Es wird angenommen dass f' differenzierbar ist (also die
> 2te ableitung existiert) und ich soll zeigen dass f
> ebenfalls differenzierbar sein muss und f' auch stetig.
Nein, es wird angenommen, dass [mm]f[/mm] differenzierbar in [mm]U\backslash \{a\}[/mm] ist. Du sollst zeigen, dass [mm]f[/mm] dann auch in [mm]a[/mm] differenzierbar ist, wenn der Grenzwert [mm]\lim_{x\to a}f^\prime(x)[/mm] existiert.
> Wenn ich das mit dem Mittelwertsatz beweisen will, dann
> brauche ich ja die Stetigkeit schon, aber die muss ich
> zeigen...
>
> Womit zeige ich das??
Da bin ich momentan überfragt...
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]U=U_{\epsilon}(a)[/mm] und [mm]f:U \rightarrow \IR[/mm] in
> [mm]\dot{U}=U \backslash \{a\}[/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f'(x)[/mm] existiert, dann ist [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm]
> differenzierbar und es gilt [mm]f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)[/mm]
>
> Hallo,
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> Wofür steht das Epsilon bei [mm]$U_{\epsilon}?[/mm] Was bedeutet
> der Punkt über [mm]$\dot{U}$[/mm] ?
>
> Es wird angenommen dass f' differenzierbar ist (also die
> 2te ableitung existiert)
Davon steht oben nix !!!!
> und ich soll zeigen dass f
> ebenfalls differenzierbar sein muss
Du sollst zeigen, dass f in a differenzierbar ist !!
> und f' auch stetig.
Davon steht oben ebenfalls nix !!!
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> Wenn ich das mit dem Mittelwertsatz beweisen will, dann
> brauche ich ja die Stetigkeit schon, aber die muss ich
> zeigen...
?????ß
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> Womit zeige ich das??
Ich habe den Eindruck, dass Du hier 2 Aufgaben durcheinander wirfst: die obige und eine andere ...
Teile also mal die Aufgabe mit
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
>
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 03.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Teile also mal die Aufgabe mit
Das ist die unveränderte Aufgabenstellung.
< Fulla
Dann kann ich ja einsetzen: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a)}{h}=f'(a+h)$ [/mm]
und damit wäre alles gezeigT?
Danke
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> < Teile also mal die Aufgabe mit
>
>
> Das ist die unveränderte Aufgabenstellung.
>
>
> < Fulla
>
> Dann kann ich ja einsetzen: [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a)}{h}=f'(a+h)[/mm]
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> und damit wäre alles gezeigT?
nichts hast Du gezeigt
FRED
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> Danke
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Leute,
ich muss selbst mal zu der Aufgabe ne Frage stellen:
Kann es sein, dass die Stetigkeit von f in a als Vorraussetzung noch fehlt?
Betrachtet zB $a=0$, $U=(-1;1)$, [mm] \dot{U}=(-1;0)\cup(0;1) [/mm] und
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls }x\le 0 \\ 1, & \mbox{falls } x>0 \end{cases}
[/mm]
f ist auf [mm] \dot{U} [/mm] diffbar und $f'(x)=0$ für [mm] x\in\dot{U}, [/mm] d.h. [mm] \limes_{x\to 0}f'(x)=\limes_{x\to 0}0=0 [/mm] exisitert.
Aber f ist nicht diffbar in 0.
Oder hab ich ein Brett vorm Kopf?
Lg walde
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Hallo,
ich würde dir zustimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 09.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $U=U_{\epsilon}(a)$, [/mm] $f:U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetig und $f:U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] in [mm] $\dot{U}=U \backslash \{a\}$ [/mm] differenzierbar. Zeige: Wenn [mm] $\limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x)$ existiert, dann ist $f$ in $a$ differenzierbar und es gilt [mm] $f'(a)=\limes_{x\rightarrow a}f'(x)$ [/mm] |
Hallo,
> Ohne Stetigkeit kein Beweis.
Angenommen es sei auf $f: U [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] stetig. Sei [mm] $(k_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} k_{n} [/mm] = 0$ und [mm] $0\ne k_{n} \forall [/mm] \ n [mm] \in \IN$. [/mm] Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_{n} [/mm] \ [mm] \in ]a,a+k_{n}[ [/mm] $ so dass dann gilt:
[mm] $\frac{f(a+k_{n})-f(a)}{k_{n}} [/mm] = [mm] f'(x_{n})$
[/mm]
Da [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} k_{n} [/mm] = 0$ und [mm] $x\in [/mm] ]a, [mm] a+k_{n} [/mm] [$ ist [mm] $lim_{n\rightarrow \infty} x_{n} [/mm] = a$ und damit :
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} f'(x_{n}) [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f(a+k_{n})-f(x)}{k_{n}} [/mm] $
Mit [mm] $(k_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] beliebig [mm] $lim_{n\rightarrow \infty} {k_{n}}= [/mm] 0 , [mm] k_{n} \ne [/mm] 0 \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN$
[/mm]
folgt
$ [mm] \lim_{x\rightarrow a } [/mm] f'(x)= f'(a) $
Wäre das so richtig??
Gruss und Dank
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Ja. Bloß solltest du am Ende aufpassen - es ist zwar klar, dass du den Limes von f(x) mit x -> a nimmst, aber die Bezeichnungen waren anders. Ansonsten stimmt das.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 09.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Dath,
> Ja , pass auf die Bezeichnungen auf
OK.
Danke sehr!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Sa 05.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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