Differenzierbarkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 So 06.07.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} e^{\bruch{-1}{x^2}}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
in x=0 differenzierbae ist und bestimmen sie f`(0). |
ich habe erstma eine allgemeinere frage. wie zeige ich das eine funktion differenzierbar ist?
angenommen ich habe folgende funktion:
h: [mm] \IR \to \IR, h(x)=\begin{cases} f(a), & \mbox{für } x=a \mbox{} \\ f(b), & \mbox{für } x=b \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{f(a)-f(b)}{a-b}
[/mm]
diesen Term lasse ich dann gegen das Grenzwert laufen, bei dem zeigen soll, dass es differenzierbar ist richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 06.07.2014 | | Autor: | chrisno |
> Zeigen Sie, dass
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> f: [mm]\IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} e^{\bruch{-1}{x^2}}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> in x=0 differenzierbae ist und bestimmen sie f'(0).
> ich habe erstma eine allgemeinere frage. wie zeige ich das
> eine funktion differenzierbar ist?
>
> angenommen ich habe folgende funktion:
>
> h: [mm]\IR \to \IR, h(x)=\begin{cases} f(a), & \mbox{für } x=a \mbox{} \\ f(b), & \mbox{für } x=b \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(a)-f(b)}{a-b}[/mm]
>
> diesen Term lasse ich dann gegen das Grenzwert laufen, bei
> dem zeigen soll, dass es differenzierbar ist richtig?
Abgesehen von der falschen Formulierung schlage ich vor, dass wir Dein Beispiel lieber überspringen. Die Funktion ist nur auf zwei Werten definiert. Damit kannst Du das Ergebnis des Bruches ausrechnen. Jeder Grenzwert entspricht diesem Ergebnis.
Für die Aufgabe: Du setzt Dich auf x = 0 und untersuchst, was passiert, wenn x > 0 immer näher an 0 heran rückt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 06.07.2014 | | Autor: | needmath |
> Für die Aufgabe: Du setzt Dich auf x = 0 und untersuchst, was passiert, wenn x > 0 immer näher an 0 heran rückt.
ich glaube für das Wort "Dich" sollte hier was anderes stehen oder? mein ansatz war aber richtig oder? ich subtrahiere die beiden Funktionswerte und dividiere es durch die Subtraktion der beiden variabel und lasse gegen den jeweiligen grenzwert laufen
ich will nicht unbedingt die aufgabe oben lösen. meine eigentliche frage ist nur wie man zeigt das eine funktion differenzierbar ist. also wie zeige ich das eine funktion differenzierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo needmath,
Bei solchen Funktionen, die mit einer Fallunterscheidung definiert sind, gehst du am besten so vor:
1. Betrachte die Funktion für $x>0$. Anschließend für [mm] x\le0. [/mm] Was lässt sich dann mit den bekannten Ableitungsregeln über die Differenzierbarkeit der jeweiligen Funktion sagen?
2. Jetzt musst du nur noch Differenzierbarkeit an der Stelle x=0 betrachten. Betrachte hierzu [mm] \limes_{x\uparrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] und [mm] \limes_{x\downarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}. [/mm]
Gilt [mm] \limes_{x\uparrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=\limes_{x\downarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}, [/mm] dann ist f an der Stelle 0 differenzierbar.
Also eigentlich ganz einfach 
Was chrisno sagte, ist einfach eine anschauliche Betrachtungsweise. Du setzt dich quasi auf den Graphen der Funktion an der Stelle 0 und "schaust" was der Graph macht, wenn x>0 immer näher zu dir heranrückt.
MfG Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 07.07.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
ihr denkt zu weit
> Gilt [mm]\limes_{x\uparrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=\limes_{x\downarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0},[/mm] dann ist f an der Stelle 0 differenzierbar.
ok das habe ich jetzt verstanden, ABER wie bilde ich nun den Term [mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0}? [/mm] das wurde hier noch nicht erklärt, wahrscheinlich weil es für euch selbstverständlich ist, aber ich habe das noch nicht ganz verstanden
im Zähler subtrahiere ich die beiden funktionswerte. in der aufgabe wäre das [mm] e^{\bruch{-1}{x^2}} [/mm] und 0. Im Nenner subtrahiere ich die variabel mit dem Grenzwet, bei dem ich zeigen soll, dass die funktion differenzierbar ist oder?.
wenn ich zeigen soll, das die funktion in x=5 differenzierbar ist, müsste dann der term lauten: [mm] \frac{f(x)-f(5)}{x-5}? [/mm] hmm so wird das wohl falsch sein, da der term für x=5 nicht definiert ist.
ich verstehe nicht wie ich den term da bilde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 07.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Es geht um
f: $ [mm] \IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} e^{\bruch{-1}{x^2}}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
Für x>0 ist
$ [mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \bruch{e^{\bruch{-1}{x^2}}}{x}$
[/mm]
Zeige damit: [mm] \limes_{x\rightarrow 0+0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0
[/mm]
Für x < 0 ist [mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0.
[/mm]
Der Quotient $ [mm] \frac{f(x)-f(5)}{x-5} [/mm] $ ist natürlich für x=5 nicht definiert.
Für die Differenzierbarkeit von f in 5 ist aber der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}
[/mm]
zuständig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 07.07.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
ich möchte nicht unhöflich sein, aber meine frage wurde wieder nicht beantwortet:
Wie bilde ich den folgenden Term [mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] ?
Woher kommt die 0 im Nenner? weil ich zeigen soll das die Funktion in x=0 differenzierbar ist?
bitte gezielt auf diese fragen antworten. das ist bereits das dritte mal das ich die frage stellen muss.
angenommen es gilt:
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{\bruch{-1}{x^2}}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
jetzt soll ich zeigen f in x=-1 differenzierbar ist, dann gilt:
[mm] \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} [/mm] = [mm] \frac{e^{\bruch{-1}{x^2}}-0}{x+1} [/mm]
Muss ich diesen Term nun gegen den Grenzwert -1 laufen lassen?
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Hallo,
> hallo,
>
> ich möchte nicht unhöflich sein, aber meine frage wurde
> wieder nicht beantwortet:
>
> Wie bilde ich den folgenden Term [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] ?
>
> Woher kommt die 0 im Nenner? weil ich zeigen soll das die
> Funktion in x=0 differenzierbar ist?
Ja, das ist doch die Definition.
f diffbar in [mm]x_0[/mm], falls [mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] existiert.
Für die Stelle [mm]x_0=0[/mm] ergibt dich dein Bruch
>
> bitte gezielt auf diese fragen antworten. das ist bereits
> das dritte mal das ich die frage stellen muss.
>
> angenommen es gilt:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{\bruch{-1}{x^2}}, & \mbox{für } x>0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> jetzt soll ich zeigen f in x=-1 differenzierbar ist, dann
> gilt:
>
> [mm]\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}[/mm] =
> [mm]\frac{e^{\bruch{-1}{x^2}}-0}{x+1}[/mm]
Na, wenn du die Stelle [mm]x=-1[/mm] untersuchst, kannst du doch annehmen, dass du "sehr nahe" bei [mm]-1[/mm] bist mit den x-Werten.
Auf jeden Fall <0
Also steht im Zähler [mm]0-0[/mm] ...
Insgesamt [mm]\frac 0{x+1}=0 \ \to 0[/mm] für [mm]x\to -1[/mm]
>
> Muss ich diesen Term nun gegen den Grenzwert -1 laufen
> lassen?
Müsstest du, ja. Mit der kleinen Korrektur.
Aber die Ableitungsregeln sind ja extra dazu erdacht worden, dass man nicht immer alles über die Definition ausrechnen muss - sozusagen vom Urknall an.
In [mm]x=-1[/mm] ist die Funktion doch trivialerweise diffbar; (dort und in einer Umgebung) ist sie doch konstant 0, und hat als Ableitung den Wert 0 ...
Allein die "Nahtstelle" ist "spannend"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mo 07.07.2014 | | Autor: | needmath |
hallo ich habe eben nochmal meine unterlagen angeschaut und es endlich gepeilt. ich hatte einen doofen denkfehler
ich möchte mich bei allen bedanken und mich entschuldigen, dass ich am ende unhöflich wurde
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