Differenzierbarkeit von f(x) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 28.03.2006 | | Autor: | smuRf- |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | | Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x): [mm] f(x)=\bruch{\wurzel{x²-4x+4}} {\wurzel{x²-6x+3}} [/mm] |
Ich habe bereits die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel gebildet und bin zum Ergebnis (durch Kürzen) [mm] \bruch{-x-3} {(x²-6x+3)^{\bruch{3} {2}}} [/mm] gekommen.
Nur bin ich mir nicht sicher ob ich die richtig bestimmt habe, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist.
Mein Ansatz ist folgender:
Da eine Funktion f(x) ja unter anderem nur dann differenzierbar ist, wenn diese auch stetig ist, habe ich versucht die Stellen zu bestimmen an denen f(x) nicht stetig ist.
Das wären Meiner Meinung nach jene Stellen an denen der Nenner 0 ist, da ja sonst eine Division durch 0 dabei herauskäme.
Also den Nenner = 0 gesetzt: [mm] \wurzel{x²-6x+3}=0
[/mm]
nun die Gleichung quadriert: x²-6x+3=0
mit Hilfe des Ansatzes für quadratische Gleichungen aufgelöst ergibt die beiden Lösungen [mm] \alpha 1=3+\wurzel{6} [/mm] und [mm] \alpha 2=3-\wurzel{6}
[/mm]
Meiner Meinung nach hieße das nun, dass die Funktion f(x) in ganz [mm] \IR\(3\pm\wurzel{6}) [/mm] differenzierbar wäre.
Nun würde ich gerne wissen ob diese Lösung so stimmt oder nicht?
Danke schonmal für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Di 28.03.2006 | | Autor: | Hexe |
Deine Lösung stimmt allerdings ist die Begründung unvollständig. Stetig sein ist zwar notwendig, aber noch nicht hinreichend damit die Funktion diffbar ist muss auch die Ableitung stetig sein. In deinem Fall macht das keinen Unterschied, weil die Nullstellen des Nenners der Ableitung dieselben sind, aber du musst es auf jeden Fall noch hinzufügen.
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