Differenzierbarkeit von f < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mo 12.12.2005 | | Autor: | splin |
Hallo, wer kann mir dabei helfen?
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2, & \mbox{wenn }\mbox{ x< oder = 1} \\
2x-1, & \mbox{wenn }\mbox{x>1}
\end{matrix}\right.
[/mm]
1)Untersuchen Sie, ob f an der Stelle 1 differenzierbar ist.
2)Geben Sie f'(x) für x [mm] \not= [/mm] 1
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Hallo splin!
Die Ableitung für [mm] $x_0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 1$ kannst Du doch bilden, oder?
Dafür musst Du beide Teilfunktionen separat ableiten.
Damit Deine genannte Funktion an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ differenzierbar ist, muss folgende Bedingung gelten:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f'(x)$
[/mm]
Überprüfe also, ob der rechtsseitige Grenzwert und der linksseitige Grenzwert für die beiden Teilableitungen an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ =\ 1$ übereinstimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 12.12.2005 | | Autor: | splin |
Wer kann helfen? Mit dem Hinweis von Roadrunner komme ich nicht weiter.
Ich habe die Ableitungen von beiden Termen gebildet:
--> 2x und
--> 2 stimmt es?
wie gehe ich weiter vor?
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Hi, splin,
> Ich habe die Ableitungen von beiden Termen gebildet:
>
> --> 2x und
Genauer: f'(x) = 2x für x < 1
> --> 2 stimmt es?
f'(x) = 2 für x > 1.
> wie gehe ich weiter vor?
Wenn Du mit roadrunners Tipp an die Sache rangehst (was vernünftig ist!), musst Du allerdings zuvor die Stetigkeit beweisen!
Die ist aber leicht einzusehen, da
f(1) = 1 und auch die Grenzwerte von links und von rechts 1 ergeben.
Nun die Grenzwerte der Ableitungsterme zum Beweis der Differenzierbarkeit:
von links: [mm] \limes_{x\rightarrow 1-0} [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 1-0} [/mm] (2x) = 2
von rechts: [mm] \limes_{x\rightarrow 1+0} [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 1+0} [/mm] (2) = 2
Also: Grenzwerte der Ableitung auch gleich. Demnach ist die Funktion bei x=1 differenzierbar.
(Ihre Tangente im Punkt P(1/1) hat die Steigung m=2.)
Nachtrag: Da Du zuerst die Differenzierbarkeit beweisen sollst (aufgabe 1) und dann erst die Ableitung f'(x) hinschreiben musst (Aufgabe 2), vermute ich allerdings, dass Du die Sache mit Hilfe des Differenzialquotienten beweisen sollst. Falls Ihr das in der Schule so gemacht habt, poste nochmal, dann helfen wir Dir auch bei diesem Lösungsweg!
mfG!
Zwerglein
von links:
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