Differenzierbarkeit im Komplex < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen f(z) = u(x, y) + iv(x, y) nach z differenzierbar sind und bestimme ihre Ableitungen. |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe die Funktion f(z) = [mm] x^{3}y^{2}+ix^{2}y^{3} [/mm] gegeben,
als erstes hab ich mal die Cauchy-Riemannsch-DGL benutzt
[mm] 3x^{2}y^{2}=3x^{2}y^{2} [/mm] *check*
[mm] 2x^{3}y= 2xy^{3} [/mm] *Wiederspruch -> nur erfüllt für z = 0*
weiter gehts mit
[mm] \limes_{z\rightarrow\0}=\bruch{f(z)-f(0)}{z-0}=0=f'(0)
[/mm]
soweit erstmal richtig?
für mich heißt das jetzt das die funktion f(z) nur in z=0 differenzierbar ist und die erste ableitung im punkt 0 auch 0 ist
wenn ich jetzt in meine lösung schaue steht da :
" f nur in Punkten der reellen und imaginären Achse differenzierbar mit f'(z) = 0"
Woher sehe ich das ?
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Hallo dingo,
> Man untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen
> f(z) = u(x, y) + iv(x, y) nach z differenzierbar sind und
> bestimme ihre Ableitungen.
> Hi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe die Funktion f(z) = [mm]x^{3}y^{2}+ix^{2}y^{3}[/mm]
> gegeben,
> als erstes hab ich mal die Cauchy-Riemannsch-DGL benutzt
> [mm]3x^{2}y^{2}=3x^{2}y^{2}[/mm] *check*
> [mm]2x^{3}y= 2xy^{3}[/mm] *Wiederspruch -> nur erfüllt für z =
> 0*
Die Cauchy-Riemannschen DGL sind jedoch:
[mm] u_x=v_y, [/mm] sowie [mm] u_y=-v_x
[/mm]
Außerdem, muss die reelle Abbildung in [mm] (x_0,y_0) [/mm] diffbar sein.
Es stimmt jedoch. f(x+iy) ist nur im Nullpunkt diffbar. Die Ableitung hat dann folgende Gestalt: [mm] A=\pmat{ u_x & u_y \\ v_x & v_y }, [/mm] sofern man [mm] A_d=\vektor{u\\v} [/mm] wählt.
Wenn man nun den Punkt [mm] (x_0,y_0)=(0,0) [/mm] einsetzt, sollte man schnell merken, dass die Ableitung also 0 ist.
>
> weiter gehts mit
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow\0}=\bruch{f(z)-f(0)}{z-0}=0=f'(0)[/mm]
> soweit erstmal richtig?
> für mich heißt das jetzt das die funktion f(z) nur in
> z=0 differenzierbar ist und die erste ableitung im punkt 0
> auch 0 ist
>
> wenn ich jetzt in meine lösung schaue steht da :
> " f nur in Punkten der reellen und imaginären Achse
> differenzierbar mit f'(z) = 0"
> Woher sehe ich das ?
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danke für deine schnell antwort, also war meine annahme schon mal richtig
aber wie komm ich jetzt darauf das f(z) in der reellen und imaginären achse diffbar ist ? ich dachte es ist nur im ursprung diffbar ?!
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Hallo dingo2000,
> danke für deine schnell antwort, also war meine annahme
> schon mal richtig
> aber wie komm ich jetzt darauf das f(z) in der reellen und
> imaginären achse diffbar ist ? ich dachte es ist nur im
> ursprung diffbar ?!
Hier ist die Gleichung [mm]2x^{3}y= -2xy^{3}[/mm] zu betrachten.
Das kannst Du auf die Form ...=0 bringen und dann faktorisieren.
Daraus ergeben sich dann die verschiedenen Möglichkeiten.
Gruss
MathePower
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$ [mm] u_{y} [/mm] = - [mm] v_{x} [/mm] $
$ [mm] 2x^{3}y= -2xy^{3} [/mm] $
$ [mm] 2x^{3}y+2xy^{3}=0 [/mm] $
$ [mm] x^{2}+y^{2}=0 [/mm] $
lsg sind dann $ x = -y; x = y; x = 0 $
und diese Lösungen sagen jetzt aus des es nur auf den Achsen und in der Null diffbar ist ?
kannst du das bitte etwas genauer erklären ich verstehe es nicht, die Null sehe ich ja ein aber das mit denn Achsen...
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Hallo dingo2000,
> [mm]u_{y} = - v_{x}[/mm]
> [mm]2x^{3}y= -2xy^{3}[/mm]
> [mm]2x^{3}y+2xy^{3}=0[/mm]
> [mm]x^{2}+y^{2}=0[/mm]
> lsg sind dann [mm]x = -y; x = y; x = 0[/mm]
Das sind nicht die Lösungen.
Es ist doch
[mm]2x^{3}y+2xy^{3}=2xy*\left(x^{2}+y^{2}\right)=0[/mm]
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt Null,
wenn einer der Faktoren Null ist.
Hier also:
i) [mm]xy=0[/mm]
Hierauf wieder diesen Satz vom Nullprodukt angewandt liefert:
x=0 oder y=0,
d.h. komplexe Differenzierbarkeit in (0|y) und (x|0).
Anders ausgedrückt:
Die Funktion ist auf den Achsen komplex differenzierbar.
ii) [mm]x^{2}+y^{2}=0[/mm]
Dies liefert x=y=0, also komplexe Differenzierbarkeit im Nullpunkt.
Insgesamt ist die Funktion auf den Achsen komplex differenzierbar.
> und diese Lösungen
> sagen jetzt aus des es nur auf den Achsen und in der Null
> diffbar ist ?
> kannst du das bitte etwas genauer erklären ich verstehe
> es nicht, die Null sehe ich ja ein aber das mit denn
> Achsen...
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo dingo,
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> > Man untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen
> > f(z) = u(x, y) + iv(x, y) nach z differenzierbar sind und
> > bestimme ihre Ableitungen.
> > Hi,
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > ich habe die Funktion f(z) = [mm]x^{3}y^{2}+ix^{2}y^{3}[/mm]
> > gegeben,
> > als erstes hab ich mal die Cauchy-Riemannsch-DGL
> benutzt
> > [mm]3x^{2}y^{2}=3x^{2}y^{2}[/mm] *check*
> > [mm]2x^{3}y= 2xy^{3}[/mm] *Wiederspruch -> nur erfüllt für z =
> > 0*
> Die Cauchy-Riemannschen DGL sind jedoch:
> [mm]u_x=v_y,[/mm] sowie [mm]u_y=-v_x[/mm]
>
> Außerdem, müssen die Ableitungen partiell diffbar sein.
Hallo Richie,
mit Verlaub, aber das ist Unsinn
FRED
>
> Es stimmt jedoch. f(x+iy) ist nur im Nullpunkt diffbar. Die
> Ableitung hat dann folgende Gestalt: [mm]A=\pmat{ u_x & u_y \\ v_x & v_y },[/mm]
> sofern man [mm]A_d=\vektor{u\\v}[/mm] wählt.
>
> Wenn man nun den Punkt [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] einsetzt, sollte man
> schnell merken, dass die Ableitung also 0 ist.
> >
> > weiter gehts mit
> >
> > [mm]\limes_{z\rightarrow\0}=\bruch{f(z)-f(0)}{z-0}=0=f'(0)[/mm]
> > soweit erstmal richtig?
> > für mich heißt das jetzt das die funktion f(z) nur in
> > z=0 differenzierbar ist und die erste ableitung im punkt 0
> > auch 0 ist
> >
> > wenn ich jetzt in meine lösung schaue steht da :
> > " f nur in Punkten der reellen und imaginären Achse
> > differenzierbar mit f'(z) = 0"
> > Woher sehe ich das ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 05.02.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
natürlich ist es Unsinn!
Ich ziehe mich erst einmal zurück. Ich muss erst einmal bisschen klarer in meinem Kopf werden. Es ist Prüfungszeit, mir unterlaufen neuerdings zu viele Fehler.
Bis in ein paar Wochen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> natürlich ist es Unsinn!
>
> Ich ziehe mich erst einmal zurück. Ich muss erst einmal
> bisschen klarer in meinem Kopf werden. Es ist
> Prüfungszeit,
Na, dann drück ich die Daumen...
> mir unterlaufen neuerdings zu viele Fehler.
>
> Bis in ein paar Wochen...
Wir werden Dich vermissen
FRED
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