Differenzierbarkeit Faltung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 25.03.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Für $r>0$ sei [mm] $H_r\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch [mm] $H_r(x)=\frac{1}{r}\chi_{[0, r]}(x).$ [/mm] Zeigen Sie für [mm] $k\in\mathbb{N}$: [/mm]
Ist $f$ eine $k$-mal stetig differenzierbare Funktion, so ist [mm] $H_r\*f$ [/mm] eine $k+1$-mal stetig differenzierbare Funktion. |
Hallo zusammen,
ich habe jetzt einfach mal die obige Faltung ausgerechnet:
[mm] $H_r\*f(x)=\int_\mathbb{R} \frac{1}{r}\chi_{[0, r]}(x-y)\cdot f(y)\,\mathrm{d}\lambda^1(y)=\int_\mathbb{R} \frac{1}{r}\chi_{[x-r, x]}(y)\cdot f(y)\,\mathrm{d}\lambda^1(y)=\int_{[x-r,x]} \frac{1}{r}f(y)\,\mathrm{d}\lambda^1(y)$
[/mm]
Ergibt sich die zu beweisende Aussage jetzt direkt aus dem Hauptsatz (wenn ja: wie genau?), oder ist da jetzt noch mehr zu tun? Ich denke mal, die Antwort wird recht trivial ausfallen, aber ich komme trotzdem hier gerade nicht selbst auf die Lösung. Könnt mir hier behilflich sein?
Ich denke übrigens mal, dass die Stetigkeit der Ableitung automatisch folgen müsste, da die Ableitung wahrscheinlich nur eine "Abwandlung" von $f$ ist, wobei $f$ ja differenzierbar ist...
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[mm](H_r \* f)(x) = \frac{1}{r} \int_{x-r}^x f(y) ~ \mathrm{d}y = \frac{1}{r} \left( \int_0^x f(y) ~ \mathrm{d}y - \int_0^{x-r} f(y) ~ \mathrm{d}y \right)[/mm]
Und jetzt kannst du auf die beiden Summanden der Klammer unmittelbar den Hauptsatz anwenden:
[mm]G(x) = \int_a^x g(t) ~ \mathrm{d}t \ \ \Rightarrow \ \ G'(x) = g(x)[/mm]
Für diese Aussage ist die Stetigkeit von [mm]g[/mm] hinreichend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 14.04.2013 | | Autor: | Lustique |
> [mm](H_r \* f)(x) = \frac{1}{r} \int_{x-r}^x f(y) ~ \mathrm{d}y = \frac{1}{r} \left( \int_0^x f(y) ~ \mathrm{d}y - \int_0^{x-r} f(y) ~ \mathrm{d}y \right)[/mm]
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> Und jetzt kannst du auf die beiden Summanden der Klammer
> unmittelbar den Hauptsatz anwenden:
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> [mm]G(x) = \int_a^x g(t) ~ \mathrm{d}t \ \ \Rightarrow \ \ G'(x) = g(x)[/mm]
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> Für diese Aussage ist die Stetigkeit von [mm]g[/mm] hinreichend.
Hallo Leopold, ich hatte deine Antwort schon an dem Tag gesehen, an dem du sie gepostet hattest, habe aber vergessen mich zu bedanken, also: Danke nochmal für deine Antwort!
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