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Aufgabe: Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] in denen die Funktion [mm] f(x)=|x^{2}-1|+|x|-1 [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die entsprechende Ableitung.
Hallo!
Mein Problem fängt schon vor der Feststellung der Differenzierbarkeit an...und zwar bin ich mir nicht sicher, ob ich die Intervalle richtig bestimmt habe, in denen die verschiedenen Gleichungen gültig sind:
1. Fall: |x|<0:
a) [mm] |x^{2}-1|<0 [/mm] für [mm] x^{2}<1 \to [/mm] x<1 und x>-1
--> -x²-x+2 für -1<x<0
b) [mm] |x^{2}-1|\ge0 [/mm] für [mm] x^{2}\ge1 \to x\ge1 [/mm] und [mm] x\le-1
[/mm]
--> x²-x für x [mm] \le [/mm] -1
2. Fall: [mm] |x|\ge0:
[/mm]
a) [mm] |x^{2}-1|<0 [/mm] für [mm] x^{2}<1 \to [/mm] x<1 und x>-1
--> -x²+x+2 für 0 [mm] \le [/mm] x <1
b) [mm] |x^{2}-1|\ge0 [/mm] für [mm] x^{2}\ge1 \to x\ge1 [/mm] und [mm] x\le-1 [/mm]
--> x²+x für x [mm] \ge [/mm] 1
Stimmt das? Und an welchen Stellen und für welche Funktionen muss ich jetzt die Grenzwerte berechnen, um die Differenzierbarkeit zu untersuchen?
Viele Grüße
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> Hallo!
> Mein Problem fängt schon vor der Feststellung der
> Differenzierbarkeit an...und zwar bin ich mir nicht sicher,
> ob ich die Intervalle richtig bestimmt habe, in denen die
> verschiedenen Gleichungen gültig sind:
>
> 1. Fall: |x|<0:
> a) [mm]|x^{2}-1|<0[/mm] für [mm]x^{2}<1 \to[/mm] x<1 und x>-1
> --> -x²-x+2 für -1<x<0
> b) [mm]|x^{2}-1|\ge0[/mm] für [mm]x^{2}\ge1 \to x\ge1[/mm] und [mm]x\le-1[/mm]
> --> x²-x für x [mm]\le[/mm] -1
> 2. Fall: [mm]|x|\ge0:[/mm]
> a) [mm]|x^{2}-1|<0[/mm] für [mm]x^{2}<1 \to[/mm] x<1 und x>-1
> --> -x²+x+2 für 0 [mm]\le[/mm] x <1
> b) [mm]|x^{2}-1|\ge0[/mm] für [mm]x^{2}\ge1 \to x\ge1[/mm] und [mm]x\le-1[/mm]
> --> x²+x für x [mm]\ge[/mm] 1
>
> Stimmt das? Und an welchen Stellen und für welche
> Funktionen muss ich jetzt die Grenzwerte berechnen, um die
> Differenzierbarkeit zu untersuchen?
> Viele Grüße
Hallo Raingirl,
1.) welche Funktion willst du denn auf Differenzierbarkeit prüfen ?
(ich vermute, dass es um die Funktion [mm] f:x\mapsto|x^2-1| [/mm] geht)
2.) Solche Fälle wie etwa |x|<0 oder [mm] |x^2-1|<0 [/mm] kommen
natürlich gar nicht in Frage. Vielleicht meintest du dabei
x<0 bzw. [mm] x^2-1<0
[/mm]
3.) Ich empfehle dir sehr, den Graphen der Funktion zu skizzieren.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Do 08.09.2011 | | Autor: | Raingirl87 |
ohhhh...ich hatte die Aufgabenstellung eigentlich in das Fenster dafür getippt aber irgendwie ist das wohl abhanden gekommen...ich werde es gleich ergänzen......
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> Aufgabe: Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] in denen
> die Funktion [mm]f(x)=|x^{2}-1|+|x|-1[/mm] differenzierbar ist und
> berechnen Sie die entsprechende Ableitung.
>
> Hallo!
> Mein Problem fängt schon vor der Feststellung der
> Differenzierbarkeit an...und zwar bin ich mir nicht sicher,
> ob ich die Intervalle richtig bestimmt habe, in denen die
> verschiedenen Gleichungen gültig sind:
>
> 1. Fall: |x|<0:
> a) [mm]|x^{2}-1|<0[/mm] für [mm]x^{2}<1 \to[/mm] x<1 und x>-1
> --> -x²-x+2 für -1<x<0
> b) [mm]|x^{2}-1|\ge0[/mm] für [mm]x^{2}\ge1 \to x\ge1[/mm] und [mm]x\le-1[/mm]
> --> x²-x für x [mm]\le[/mm] -1
> 2. Fall: [mm]|x|\ge0:[/mm]
> a) [mm]|x^{2}-1|<0[/mm] für [mm]x^{2}<1 \to[/mm] x<1 und x>-1
> --> -x²+x+2 für 0 [mm]\le[/mm] x <1
> b) [mm]|x^{2}-1|\ge0[/mm] für [mm]x^{2}\ge1 \to x\ge1[/mm] und [mm]x\le-1[/mm]
> --> x²+x für x [mm]\ge[/mm] 1
>
> Stimmt das? Und an welchen Stellen und für welche
> Funktionen muss ich jetzt die Grenzwerte berechnen, um die
> Differenzierbarkeit zu untersuchen?
> Viele Grüße
Aha. Wo ich jetzt die Funktion f auch sehe:
Solche "Fälle" wie |x|<0 oder [mm] |x^2-1|<0 [/mm] sind natürlich nach
wie vor unsinnig.
Ich würde jedenfalls eine Zeichnung empfehlen und dann
die offensichtliche Symmetrie nutzen, um die mit Grenz-
werten nötige Arbeit zu halbieren.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Do 08.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die "Kritischen Stellen", an denen die Funktion nicht differenzierbar
sein könnte, sind die Nullstellen der "Teilbeträge"
Aus
|x²-1|=0 folgen also die Kritischen Stellen x=1 und x=-1
Und aus |x|=0 folg die dritte kritische Stelle x=0.
An diesen drei Stellen müsstest du dann mal die Differenzierbarkeit prüfen.
Marius
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