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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 15.08.2013 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich habe mal bitte eine Frage zur Differenzierbarkeit, denn irgendwie habe ich gerade eine Wissenslücke.
[mm] y=\bruch{3x^{2}-8}{x^{2}}
[/mm]
ist als Funktion gegeben.
Ich weis das diese unstetig ist, da der "0" eine Polstelle ist.
Kann mir evtl. bitte jemand einen Tip geben wie ich jetzt eine Aussage über die Differenzierbarkeit treffen kann?
Ich weis nur soviel das ich den links und rechtsseitigen Grenzwert betrachten muss. Und wenn dieser ungleich ist dann ist die Funktion nicht differenzierbar.
Wäre das soweit schon korrekt?
Vielen Dank schon einmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ice-Man!
> Hallo,
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> ich habe mal bitte eine Frage zur Differenzierbarkeit, denn
> irgendwie habe ich gerade eine Wissenslücke.
>
> [mm]y=\bruch{3x^{2}-8}{x^{2}}[/mm]
>
> ist als Funktion gegeben.
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> Ich weis das diese unstetig ist, da der "0" eine Polstelle
> ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genauso wichtig ist, dass die Funktion an dieser Stelle gar nicht definiert ist.
> Kann mir evtl. bitte jemand einen Tip geben wie ich jetzt
> eine Aussage über die Differenzierbarkeit treffen kann?
Ja, sie ist an der Stelle [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar. Was soll man denn differenzieren? [mm]y(0)[/mm] ist ja nicht definiert...
> Ich weis nur soviel das ich den links und rechtsseitigen
> Grenzwert betrachten muss. Und wenn dieser ungleich ist
> dann ist die Funktion nicht differenzierbar.
> Wäre das soweit schon korrekt?
Ja, wenn die Grenzwerte ungleich sind, macht der Graph der Funktion an der Stelle einen "Sprung". Wenn wir den Grenzwert [mm]\pm\infty[/mm] mal ausschließen, heißt das, dass die Funktion dort nicht stetig ist - also schon gar nicht differenzierbar.
Lassen wir [mm]\pm\infty[/mm] zu, liegt eine Polstelle vor und die Funktion ist - siehe oben - an dieser Stelle nicht definiert, also ist die Frage nach Differenzierbarkeit sinnlos.
Allerdings kannst du mit derlei Überlegungen nicht begründen, dass die Funktion dort differenzierbar ist. Betrachte z.B. [mm]f(x)=|x|[/mm]. Die Grenzwerte [mm]\lim_{x\to\pm 0} |x|[/mm] sind beide gleich 0, aber die Funktion ist bei [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar (sie hat da einen "Knick").
Reicht dir das schon? Ansonsten präzisiere deine Frage.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Fr 16.08.2013 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank, das hilft mir schon viel weiter.
Also wäre es soweit richtig wenn ich sage, die Funktion ist aufgrund der Polstelle (x=0) unstetig und deswegen auch an dieser besagten Stelle nicht differenzierbar?
Oder verwechsel ich da jetzt schon wieder etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Fr 16.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die fkz ist bei 0 nicht definiert, also kann sie ja auch nicht differenzierbar sein, man kann die Definitionslücke auch nicht stetig schließen.
aber eigentlich stand das doch im vorigen post schon, Wie liest du?
Gtuss leduart
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Hallo Iceman,
Du willst [mm]f(x) = \frac{3x^2-8}{x^2}[/mm] auf Diffbarkeit überprüfen.
Wo genau liegt dein Problem? Die Antwort von Fulla müsste doch alles geklärt haben...
Also wie du bereits richtig ersehen hast liegt bei x = 0 offensichtlich ein undefinierter Fall vor. Somit kannst du Diffbarkeit dort ausschließen.
Überlege ob bis auf x = 0 ein weiterer kritischer Fall eintreten könnte.. falls dir keine weiteren problematischen Punkte begegnen so hast du deine Antwort - und bestimmt auf welchem Bereich f diffbar ist und zwar: f ist beliebig oft diffbar [mm] \forall [/mm] x [mm] \neq [/mm] 0.
Gruß Thomas
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