Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 13.05.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der folgenden Funktion in Abhängigkeit von [mm] n\in\IN_0. [/mm] Erstellen Sie Skizzen für n=0, n=1, n=2
[mm] f_n:\IR\to\IR: [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} 0, \mbox{für x< 0} \\ x^n, \mbox{für x} \ge 0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei obiger funktion im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] auf Differenzierbarkeit geprüft:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{x^n-x^n}{x-0}=0
[/mm]
Somit ist f(x) im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar.
Nun weis ich nicht welche Punkte noch zu untersuchen sind. Für [mm] x\ge0 [/mm] und x<0 ist die Funktion ja in allen Punkten differenzierbar. Muss man das hier noch irgendwie gesondert aufzeigen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mo 13.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit der folgenden
> Funktion in Abhängigkeit von [mm]n\in\IN_0.[/mm] Erstellen Sie
> Skizzen für n=0, n=1, n=2
> [mm]f_n:\IR\to\IR:[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} 0, \mbox{für x< 0} \\ x^n, \mbox{für x} \ge 0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> ich habe bei obiger funktion im Punkt [mm]x_0=0[/mm] auf
> Differenzierbarkeit geprüft:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{x^n-x^n}{x-0}=0[/mm]
Das muss aber [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^n-0^n}{x-0}[/mm] heißen.
Nun berechne das mal fallweise für n=0, n=1 bzw. n=2.
Und wie näherst du dich der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] an?
Von oben oder von unten?
Gruß Abakus
>
> Somit ist f(x) im Punkt [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar.
>
> Nun weis ich nicht welche Punkte noch zu untersuchen sind.
> Für [mm]x\ge0[/mm] und x<0 ist die Funktion ja in allen Punkten
> differenzierbar. Muss man das hier noch irgendwie gesondert
> aufzeigen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 13.05.2013 | | Autor: | BamPi |
> Das muss aber [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^n-0^n}{x-0}[/mm]
> heißen.
> Nun berechne das mal fallweise für n=0, n=1 bzw. n=2.
> Und wie näherst du dich der Stelle [mm]x_0=0[/mm] an?
> Von oben oder von unten?
> Gruß Abakus
Hallo,
also ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^n}{x} [/mm] und somit:
Für n=0: [mm] \limes_{x\rightarrow -0}\bruch{x^0}{x} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow +0}\bruch{x^0}{x}=+\infty
[/mm]
Für n=1: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^1}{x} [/mm] = 1
Für n=2: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{x}=0
[/mm]
und ebenso für alle anderen [mm] n\in\IN>1: \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^n}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}x^{n-1}=0
[/mm]
Kann ich nun sagen, dass f(x) im Punkt [mm] x_0 [/mm] Differenzierbar ist, für [mm] n\ge1 [/mm] und nur für n=0 im Punkt [mm] x_0=0 [/mm] nicht differenzierbar ?
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Hallo nochmal,
kleine Ergänzung zum Fall $n=0$
Ich bin mir nie ganz klar darüber, ob nun [mm] $0^0=1$ [/mm] oder [mm] $0^0=0$ [/mm] ist ...
Ich bin von letzterem ausgegangen.
Damit ergibt sich als linksseitiger Limes 0
Geht man vom ersten aus, so ist [mm] $\lim\limits_{x\uparrow 0}\frac{1}{x}=-\infty$
[/mm]
Wie dem auch sei, es bleibe bei Nicht-Diffbarkeit für $n=0$ - so oder so 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 13.05.2013 | | Autor: | BamPi |
Ja, ich habe die Linksseitigen Grenzwerte vergessen.
Mit den Linksseitigen Grenzwerten ist f(x) in der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN \ge [/mm] 2 differenzierbar.
Eine andere Stelle [mm] x_0 [/mm] (außer [mm] x_0=0) [/mm] ist hier ansonsten nichtmehr zu untersuchen ?
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Hallo nochmal,
> Ja, ich habe die Linksseitigen Grenzwerte vergessen.
>
> Mit den Linksseitigen Grenzwerten ist f(x) in der Stelle
> [mm]x_0=0[/mm] für alle [mm]n\in\IN \ge[/mm] 2 differenzierbar. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Eine andere Stelle [mm]x_0[/mm] (außer [mm]x_0=0)[/mm] ist hier ansonsten
> nichtmehr zu untersuchen ?
Nein, allein die Nahtstelle ist "spannend"
Außerhalb von [mm] $x_0=0$ [/mm] sind die beiden Funktionen [mm] $x^n$ [/mm] und $0$ doch sicher diffbar.
Warum eigentlich?
Gruß
schachuzipus
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