Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten wir jetzt noch die Funktion
f: R [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto \begin{cases} x^2, {für } x \le 1\\ 2x, & \mbox{für } x \mbox >1 \end{cases}
[/mm]
Wir untersuchen, ob die Funktion an der Stelle 1 differenzierbar ist.
Wir bilden daher den links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten:
"linksseitige Ableitung": f´(1)=2
Für die "rechtsseitige Ableitung" gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{2x-1}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] (2+ [mm] \bruch{1}{x-1})
[/mm]
Dieser Grenzwert existiert nicht. |
Dieser Text steht in unserem Mathebuch. Das Ergebnis der "linksseitigen Ableitung" kann ich nachvollziehen, allerdings habe ich Probleme bei der "rechtsseitigen Ableitung".
Müsste da nicht
[mm] \limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{2x - 2*1}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{2x - 2}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{2*(x-1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1{^+}} [/mm] 2 = 2
stehen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
nein, das müsste es nicht; das Mathe-Buch hat Recht.
Für x=1 tritt nämlich der obere Zweig der Fallunterscheidung ein, also [mm] f(x)=x^2 [/mm] und somit f(1)=1.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hallo erdhoernchen,
das Problem ist hier eigentlich ein anderes.
> Betrachten wir jetzt noch die Funktion
>
> f: R [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto \begin{cases} x^2, {für } x \le 1\\
2x, & \mbox{für } x \mbox >1 \end{cases}[/mm]
>
> Wir untersuchen, ob die Funktion an der Stelle 1
> differenzierbar ist.
Dafür ist die triviale Bedingung, dass $f$ bei x=1 stetig ist.
Das ist hier nicht erfüllt.
> Wir bilden daher den links- und rechtsseitigen Grenzwert
> des Differenzenquotienten:
> "linksseitige Ableitung": f´(1)=2
> Für die "rechtsseitige Ableitung" gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{2x-1}{x-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1^+}[/mm] (2+ [mm]\bruch{1}{x-1})[/mm]
> Dieser Grenzwert existiert nicht.
Kann er ja auch nicht. Bei x=1 liegt eine Sprungstelle.
> Dieser Text steht in unserem Mathebuch. Das Ergebnis der
> "linksseitigen Ableitung" kann ich nachvollziehen,
> allerdings habe ich Probleme bei der "rechtsseitigen
> Ableitung".
>
> Müsste da nicht
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{2x - 2*1}{x-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{2x - 2}{x-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1{^+}} \bruch{2*(x-1)}{x-1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1{^+}}[/mm] 2 = 2
>
> stehen?
Nein, [mm] f(1)=1\not=2
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
|
