Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man betrachte folgende Funktion [mm] f:\IR \to \IR, f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ } \\ x^{2}*sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Man zeige, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist, jedoch f' in 0 nicht stetig ist. |
Hallo ^^,
Ich will zunächst zeigen, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist.
Für x [mm] \le [/mm] 0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{f(x)-0}{x}=\bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{x}=0.
[/mm]
Für x>0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{x^{2}*sin(\bruch{1}{x})-x_{0}^{2}*sin(\bruch{1}{x_{0}})}{x-x_{0}}
[/mm]
Als Grenzwert muss [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x})+x^{2}*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] rauskommen, aber ich weiß absolut nicht, wie ich den Quotienten so umformen kann, dass dieser grenzwert rauskommt.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich vorgehen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Für x $ [mm] \le [/mm] $ 0 gilt: $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{f(x)-0}{x}=\bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{x}=0. [/mm] $
Das ist so Kraut und Rüben.
1. Wenn Du x gegen [mm] $x_0$ [/mm] gehen läßt, meinst Du wohl die Ableitung an [mm] $x_0$ [/mm] und nicht x
2. Wenn [mm] $x_0\leq [/mm] 0$, dann kann x sehr wohl >0 sein, f(x)=0$ ist absolut nicht klar.
3. Ist plötzlich [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Nenner verschwunden. Willst Du jetzt [mm] $x_0\leq [/mm] 0$ oder [mm] $x_0=0$?
[/mm]
> [mm] $x_0 [/mm] >0$, $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{x^{2}\cdot{}sin(\bruch{1}{x})-x_{0}^{2}\cdot{}sin(\bruch{1}{x_{0}})}{x-x_{0}} [/mm] $
In solchen Fällen bietet sich fast immer an, per Teleskopsumme die Teile aufzuspalten:
[mm] $x^{2}*\sin(\bruch{1}{x})-x_{0}^{2}\cdot{}\sin(\bruch{1}{x_{0}}) [/mm] = [mm] \left( x^2\sin(\frac 1x ) - x_0^2 \sin(\frac 1{x})\right)+ \left(x_0^2 \sin(\frac 1{x}) - x_0^2 \sin(\frac 1{x_0})\right) [/mm] $
Damit hast Du die beiden Ableitungen getrennt. Schau Dir auch nochmal die Herleitung der Produktregel an.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Di 04.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Dass f in allen Punkten x [mm] \ne [/mm] 0 differenzierbar ist, dürfte doch klar sein. Also ist nur x=0 zu untersuchen. Schau also naçh, was der Quotient
[mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
treibt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Di 04.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Dass f in allen Punkten x [mm]\ne[/mm] 0 differenzierbar ist,
> dürfte doch klar sein. Also ist nur x=0 zu untersuchen.
Naja, klar ist es schon, aber ich muss es doch irgendwie beweisen. Für [mm] x_{0} [/mm] >0 habe ich mit Blechs Hilfe gezeigt, dass die Funktion diff.bar ist.
> Schau also naçh, was der Quotient
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
>
> treibt.
Wir betrachten also [mm] x_{0}=0, [/mm] aber x kann trotzdem >0 oder <0 sein oder?
Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}.
[/mm]
Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
1. x < 0: [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} 0}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=0
[/mm]
2. [mm] x>0:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0} (x*sin(\bruch{1}{x}))=0*sin(\bruch{1}{0})? [/mm] Aber das ist ja nicht möglich.
Und für x=0 [mm] gilt:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{0}.
[/mm]
Das stimmt ja so nicht. Was mache ich falsch?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Dass f in allen Punkten x [mm]\ne[/mm] 0 differenzierbar ist,
> > dürfte doch klar sein. Also ist nur x=0 zu untersuchen.
> Naja, klar ist es schon, aber ich muss es doch irgendwie
> beweisen. Für [mm]x_{0}[/mm] >0 habe ich mit Blechs Hilfe gezeigt,
> dass die Funktion diff.bar ist.
>
> > Schau also naçh, was der Quotient
> >
> > [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0
> >
> > treibt.
>
> Wir betrachten also [mm]x_{0}=0,[/mm] aber x kann trotzdem >0 oder
> <0 sein oder?
> Dann gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}.[/mm]
>
> Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
> 1. x < 0: [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} 0}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=0[/mm]
Jo, da kommt 0 raus, ist aber etwas "kraus".
Ich würde es so schreiben:
[mm]\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0-0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0[/mm]
>
> 2. [mm]x>0:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0} (x*sin(\bruch{1}{x}))=0*sin(\bruch{1}{0})?[/mm]
> Aber das ist ja nicht möglich.
Zur Berechnung von [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot{}\sin(1/x)[/mm] beachte, dass der Sinus beschränkt ist durch 1!
Also [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le |x|[/mm]
Was passiert hier für [mm]x\to 0^+[/mm] ?
>
> Und für x=0 [mm]gilt:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\bruch{0}{0}.[/mm]
Hä?
>
> Das stimmt ja so nicht. Was mache ich falsch?
Um die Diffbarkeit in 0 zu überprüfen, berechne wie du das schon vorhast, den links- und rechtsseitigen Limes [mm]\lim\limits_{x\to 0^-}[/mm] und [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}[/mm] des Differenzenquotienten.
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 04.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo schachuzipus
> > Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
> > 1. x < 0: [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} f(x)}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=\bruch{\limes_{x\rightarrow 0} 0}{\limes_{x\rightarrow 0} x}=0[/mm]
>
> Jo, da kommt 0 raus, ist aber etwas "kraus".
>
> Ich würde es so schreiben:
>
> [mm]\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0-0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{0}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-}0=0[/mm]
>
> >
> > 2. [mm]x>0:\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0} (x*sin(\bruch{1}{x}))=0*sin(\bruch{1}{0})?[/mm]
> > Aber das ist ja nicht möglich.
>
> Zur Berechnung von [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot{}\sin(1/x)[/mm]
> beachte, dass der Sinus beschränkt ist durch 1!
>
> Also [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le |x|[/mm]
>
> Was passiert hier für [mm]x\to 0^+[/mm] ?
Für x [mm] \to 0^{+} [/mm] gilt: [mm] 0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le [/mm] 0
Daraus folgt [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}} x*sin(\bruch{1}{x})=0.
[/mm]
Also ist f auch in x=0 differenzierbar und somit auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Stimmt es nun?
lg
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus
> > Zur Berechnung von [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot{}\sin(1/x)[/mm]
> > beachte, dass der Sinus beschränkt ist durch 1!
> >
> > Also [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le |x|[/mm]
> >
> > Was passiert hier für [mm]x\to 0^+[/mm] ?
>
> Für x [mm]\to 0^{+}[/mm] gilt: [mm]0\le \left|x\cdot{}\sin(1/x)\right|\le[/mm] 0
Ja, das meinst du richtig, aber es ist "komisch" aufgeschrieben.
Mit [mm]0\le |x\sin(1/x)|\le |x|[/mm] folgt mit [mm]x\to 0^+[/mm] auf die Ungleichung angewandt:
[mm]0=\lim\limits_{x\to 0^+}0\le\lim\limits_{x\to 0^+}|x\sin(1/x)|\le 0=\lim\limits_{x\to 0^+}|x|[/mm]
Also nach dem Sandwichlemma: [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}|x\sin(1/x)|=0[/mm] und damit [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}x\sin(1/x)=0[/mm]
> Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}} x*sin(\bruch{1}{x})=0.[/mm]
So ist es!
>
> Also ist f auch in x=0 differenzierbar und somit auf ganz
> [mm]\IR[/mm] differenzierbar.
Jo!
> Stimmt es nun?
Ja, schreibe es für dich aber nochmal ganz sorgfältig und sauber auf
!
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 11.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Stimmt es nun?
>
> Ja, schreibe es für dich aber nochmal ganz sorgfältig und
> sauber auf
> !
Ok, Danke. Ich hab es nun versucht zu zeigen, dass f' in 0 nicht stetig ist.
f' ist stetig in 0, falls [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f'(x)=f'(0).
Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.
[/mm]
Für x>0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
Außerdem gilt 0 [mm] \le [/mm] |2x*sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 2x und 0 [mm] \le [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. Daraus folgt [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm] \not=0.
[/mm]
Das heißt f' ist nicht stetig in 0.
Ist das in Ordnung so?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> > > Stimmt es nun?
> >
> > Ja, schreibe es für dich aber nochmal ganz sorgfältig und
> > sauber auf
> > !
>
> Ok, Danke. Ich hab es nun versucht zu zeigen, dass f' in 0
> nicht stetig ist.
> f' ist stetig in 0, falls [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> f'(x)=f'(0).
>
> Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.[/mm]
Nach dem Grenzprozess darf da doch kein x mehr stehen. Hier fehlt einfach noch der Limes in den letzten beiden Schritten, und am Ende dann =0.
> Für x>0 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
>
> Außerdem gilt 0 [mm]\le[/mm] |2x*sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 2x und 0 [mm]\le[/mm]
> |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm]\not=0.[/mm]
Nein, das folgt nicht daraus. Wieso sollte der Grenzwert des Betrages denn 1 sein? Es existiert schlicht kein Grenzwert.
> Das heißt f' ist nicht stetig in 0.
Das heißt es dann aber noch, nur stimmt Deine Begründung für x>0 nicht, und die für [mm] x\le0 [/mm] ist noch nicht sauber.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Di 11.10.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo reverend,
> > Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.[/mm]
>
> Nach dem Grenzprozess darf da doch kein x mehr stehen. Hier
> fehlt einfach noch der Limes in den letzten beiden
> Schritten, und am Ende dann =0.
Ja natürlich, da hab ich etwas unsauber geschrieben.
>
> > Für x>0 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
> >
> > Außerdem gilt 0 [mm]\le[/mm] |2x*sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 2x und 0 [mm]\le[/mm]
> > |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm]\not=0.[/mm]
>
> Nein, das folgt nicht daraus. Wieso sollte der Grenzwert
> des Betrages denn 1 sein? Es existiert schlicht kein
> Grenzwert.
Hmmm, okay. Ich versuch mal zu begründen warum er nicht existiert.
Es gilt 0 [mm] \le [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. Wenn ich nun den Limes betrachte, gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 0 [mm] \le \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] 1, d.h 0 [mm] \le \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |cos(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. Aber [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] cos(1/x) existiert gar nicht.
Ich denke es ist mir klar geworden, aber ich weiß nicht wie ich das richtig aufschreiben soll.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 11.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend,
>
> > > Es gilt f'(0)=0. Und für x<0: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\bruch{f'(x)}{x}=\bruch{0}{x}.[/mm]
>
> >
> > Nach dem Grenzprozess darf da doch kein x mehr stehen. Hier
> > fehlt einfach noch der Limes in den letzten beiden
> > Schritten, und am Ende dann =0.
> Ja natürlich, da hab ich etwas unsauber geschrieben.
> >
> > > Für x>0 gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f'(x)=\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > > 2x*sin(1/x)-cos(1/x).
> > >
> > > Außerdem gilt 0 [mm]\le[/mm] |2x*sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 2x und 0 [mm]\le[/mm]
> > > |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Daraus folgt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> > > |2x*sin(1/x)-cos(1/x)|=1 [mm]\not=0.[/mm]
> >
> > Nein, das folgt nicht daraus. Wieso sollte der Grenzwert
> > des Betrages denn 1 sein? Es existiert schlicht kein
> > Grenzwert.
>
> Hmmm, okay. Ich versuch mal zu begründen warum er nicht
> existiert.
> Es gilt 0 [mm]\le[/mm] |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Wenn ich nun den Limes
> betrachte, gilt: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 0 [mm]\le \limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> |cos(1/x)| [mm]\le \limes_{x\rightarrow 0}[/mm] 1, d.h 0 [mm]\le \limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> |cos(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. Aber [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] cos(1/x)
> existiert gar nicht.
Ja, aber wieso denn nicht ????
> Ich denke es ist mir klar geworden
Bist Du sicher ?
> , aber ich weiß nicht
> wie ich das richtig aufschreiben soll.
Betrachte mal die Nullfolge [mm] (x_n)=(\bruch{1}{n \pi}) [/mm] und dann die Folge [mm] (cos(1/x_n))
[/mm]
FRED
>
> lg
>
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