Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Di 16.08.2011 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) an der Stelle [mm] x_{0}=2 [/mm] stetig und gegebenfalls differenzierbar ist.
[mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{4-x^2}, & \mbox{für } -2\le x\le 2 \mbox{ } \\ -\wurzel{4-(x-4)^2}, & \mbox{für } 2 |
Hallo!
Also die Stetigkeit habe ich überprüft in dem ich eben den Grenzwert von beiden Seiten gebildet habe:
[mm] \limes_{x\uparrow 2} f(x)=\limes_{x\uparrow 2} \wurzel{4-x^2}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\downarrow 2} f(x)=\limes_{x\downarrow 2} -\wurzel{4-(x-4)^2}=0
[/mm]
Beide Limiten stimmen überein => Stetig an der Stelle [mm] x_{0}=2
[/mm]
Da Stetigkeit erfüllt ist, und notwendig für Differenzierbarkeit ist, folgt nun die Überprüfung auf Differenzierbarkeit:
Bilde [mm] f'(x)=\begin{cases} \bruch{-x}{\wurzel{4-x^2}}, & \mbox{für } -2\le x\le 2 \mbox{ } \\ \bruch{x-4}{\wurzel{4-(x-4)^2}}, & \mbox{für } 2
Nun wieder Grenzwerte:
[mm] \limes_{x\uparrow 2} f'(x)=\limes_{x\uparrow 2} \bruch{-x}{\wurzel{4-x^2}}=\limes_{n\downarrow 0} \bruch{-2}{n}=-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\downarrow 2} f'(x)=\limes_{x\downarrow 2} \bruch{x-4}{\wurzel{4-(x-4)^2}}=\limes_{n\downarrow 0} \bruch{-2}{n}=-\infty
[/mm]
Die Grenzwerte stimmen zwar überein, sind aber [mm] -\infty [/mm] , also in diesem Fall unechte Grenzwerte. Kann man dann auch davon ausgehen, dass die Funktion dort differenzierbar ist, da die Grenzwerte von beiden Seiten gleich sind? Oder kann man einen Halbkreis allein schon deswegen nicht am Rand differenzieren, weil dort die Steigung der Tangenten [mm] \pm\infty [/mm] ist und somit keine Funktion f(x) mehr ist sondern nur "x=2" (Gerade parallel zur y-Achse)?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo mathey,
> Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) an der Stelle
> [mm]x_{0}=2[/mm] stetig und gegebenfalls differenzierbar ist.
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> [mm]f(x)=\begin{cases} \wurzel{4-x^2}, & \mbox{für } -2\le x\le 2 \mbox{ } \\ -\wurzel{4-(x-4)^2}, & \mbox{für } 2
>
> Hallo!
>
> Also die Stetigkeit habe ich überprüft in dem ich eben
> den Grenzwert von beiden Seiten gebildet habe:
>
> [mm]\limes_{x\uparrow 2} f(x)=\limes_{x\uparrow 2} \wurzel{4-x^2}=0[/mm]
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> [mm]\limes_{x\downarrow 2} f(x)=\limes_{x\downarrow 2} -\wurzel{4-(x-4)^2}=0[/mm]
>
> Beide Limiten stimmen überein => Stetig an der Stelle
> [mm]x_{0}=2[/mm]
>
> Da Stetigkeit erfüllt ist, und notwendig für
> Differenzierbarkeit ist, folgt nun die Überprüfung auf
> Differenzierbarkeit:
>
> Bilde [mm]f'(x)=\begin{cases} \bruch{-x}{\wurzel{4-x^2}}, & \mbox{für } -2\le x\le 2 \mbox{ } \\ \bruch{x-4}{\wurzel{4-(x-4)^2}}, & \mbox{für } 2
>
> Nun wieder Grenzwerte:
>
> [mm]\limes_{x\uparrow 2} f'(x)=\limes_{x\uparrow 2} \bruch{-x}{\wurzel{4-x^2}}=\limes_{n\downarrow 0} \bruch{-2}{n}=-\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\downarrow 2} f'(x)=\limes_{x\downarrow 2} \bruch{x-4}{\wurzel{4-(x-4)^2}}=\limes_{n\downarrow 0} \bruch{-2}{n}=-\infty[/mm]
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> Die Grenzwerte stimmen zwar überein, sind aber [mm]-\infty[/mm] ,
> also in diesem Fall unechte Grenzwerte. Kann man dann auch
> davon ausgehen, dass die Funktion dort differenzierbar ist,
> da die Grenzwerte von beiden Seiten gleich sind? Oder kann
> man einen Halbkreis allein schon deswegen nicht am Rand
> differenzieren, weil dort die Steigung der Tangenten
> [mm]\pm\infty[/mm] ist und somit keine Funktion f(x) mehr ist
> sondern nur "x=2" (Gerade parallel zur y-Achse)?
>
Die Funktion ist an der Stelle x=2 nicht differenzierbar,
da der Grenzwert nicht endlich ist.
> Vielen Dank im Voraus.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 16.08.2011 | | Autor: | mathey |
Alles klar, dank dir!
Eine formale Frage habe ich noch:
Ist das in Ordnung (unabhängig davon, dass der Grenzwert in dieser Aufgabe endlich sein muss), dass ich den Wert unter dem Limes variere und auch die Richtung, wie ich es hier getan habe?:
[mm] \limes_{x\uparrow 2} f'(x)=\limes_{x\uparrow 2} \bruch{-x}{\wurzel{4-x^2}}=\limes_{n\downarrow 0} \bruch{-2}{n}=-\infty [/mm]
"x" wird zu "n", "2" wird zu "0" und "von unten" wird zu "von oben". Gerade letzterer Schritt ist wichtig, da sonst [mm] +\infty [/mm] rausgekommen wäre, was falsch wäre.
Danke und Gruß!
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Hallo mathey,
> Alles klar, dank dir!
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> Eine formale Frage habe ich noch:
>
> Ist das in Ordnung (unabhängig davon, dass der Grenzwert
> in dieser Aufgabe endlich sein muss), dass ich den Wert
> unter dem Limes variere und auch die Richtung, wie ich es
> hier getan habe?:
>
> [mm]\limes_{x\uparrow 2} f'(x)=\limes_{x\uparrow 2} \bruch{-x}{\wurzel{4-x^2}}=\limes_{n\downarrow 0} \bruch{-2}{n}=-\infty[/mm]
Nein, das ist nicht in Ordnung, da ja x von n abhängig ist.
Du kannst hier [mm]x=2-\bruch{1}{n}[/mm] setzen
und den Grenzwert für [mm]n \to \infty[/mm] bilden.
>
> "x" wird zu "n", "2" wird zu "0" und "von unten" wird zu
> "von oben". Gerade letzterer Schritt ist wichtig, da sonst
> [mm]+\infty[/mm] rausgekommen wäre, was falsch wäre.
>
> Danke und Gruß!
Gruss
MathePower
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