Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Di 26.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] gegeben und eine Funtion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] definiert durch:
f(x)= 0, falls x [mm] \le [/mm] 0
[mm] x^{n}, [/mm] falls x>0.
Man zeige, dass diese Funktion auf [mm] \IR [/mm] (n-1)-mal differenzierbar ist,aber nicht n-mal und berechne die Ableitungen [mm] f^{(k)} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] k < n. |
Guten Morgen,
bei der obigen Aufgabe komme ich leider nicht mehr weiter und hoffe ihr könnt mir helfen.
Es gilt: f ist in differenzierbar,falls der GW [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-{x}_{0}} [/mm] existiert für alle [mm] x_{0} \in \IR.
[/mm]
Nun betrachte ich zunächst alle [mm] x_{0}, [/mm] für die gilt [mm] x_{0} [/mm] < 0. Dann gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-{x}_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-0}{x-{x}_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{0-0}{x-{x}_{0}}=0.
[/mm]
Für f(x) habe ich im Zähler 0 eingesetzt, weil f die Nullfunktion ist. Der Grenzwert existiert also und ich weiß, dass die Funktion 1 mal differenzierbar ist für x<0. Aber wie zeige ich das jetzt für (n-1)-mal?
Sei nun [mm] x_{0} [/mm] >0. Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-{x}_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{x^{n}-x_{0}^{n}}{x-{x}_{0}}.
[/mm]
Kann man jetzt im Zähler [mm] x-x_{0} [/mm] ausklammern? Ich habs mit Polynomdivision versucht, aber das hat nicht geklappt.
Wie geht es jetzt weiter?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Klar dürfte sein:
f ist auf (0, [mm] \infty) [/mm] und auf (- [mm] \infty,0) [/mm] beliebig oft differenzierbar.
Zu untersuchen ist also nur die Stelle [mm] x_0=0.
[/mm]
Es ist [mm] f'(x)=nx^{n-1} [/mm] für x>0 und f'(x)=0 für x<0
Ich nehme mir mal den Fall n=2 vor, in der Hoffnung, dass Du dann den allgemeinen Fall selbst hin bekommst.
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0+0}x=0$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0-0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 00}0=0$
[/mm]
Damit ist f auch in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar und wir haben:
f'(x)=2x für x>0 und f'(x)=0 für x [mm] \le [/mm] 0
f ist also auf [mm] \IR [/mm] n-1=1 mal differenzierbar. Nun zeige: f' ist in [mm] x_0=0 [/mm] nicht differenzierbar.
Damit ist f auf [mm] \IR [/mm] nicht n=2 mal differenzierbar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Sa 24.09.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
Danke für die Hilfe.
> Klar dürfte sein:
>
> f ist auf (0, [mm]\infty)[/mm] und auf (- [mm]\infty,0)[/mm] beliebig oft
> differenzierbar.
>
> Zu untersuchen ist also nur die Stelle [mm]x_0=0.[/mm]
> f ist also auf [mm]\IR[/mm] n-1=1 mal differenzierbar. Nun zeige: f'
> ist in [mm]x_0=0[/mm] nicht differenzierbar.
Ok, ich hab es so gezeigt:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{f'(x)-f'(x_{0}}{x-x_{0}}=\limes_{n\rightarrow0} \bruch{2x}{x}=2 [/mm] (für x>0).
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{f'(x)-f'(x_{0}}{x-x_{0}}=\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{0-0}{x-0}=0 [/mm] (für x [mm] \le [/mm] 0).
Da 2 [mm] \not= [/mm] 0 ist, ist f' nicht differenzierbar.
Den allgemeinen Fall habe ich so gemacht:
Für x>0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x^{n}-x_{0}^{n}}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow 0} x^{n-1}=0.
[/mm]
Für x < gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}=0.
[/mm]
Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren,ist f in [mm] x_{0}=0 [/mm] differenzierbar.
Noch zu zeigen: [mm] f^{(n-1)} [/mm] ist nich in [mm] x_{0}=0 [/mm] differenzierbar:
Für x>0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0}}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{n!*x}{x}=n!
[/mm]
Für x <0 gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0}}{x-x_{0}}=0 \not= [/mm] n!.
>
Das heißt f ist nicht n mal differenzierbar und es gilt [mm] f^{(k)}(x)=(k+1)!*x [/mm] für x>0 und für x [mm] \le [/mm] 0: [mm] f^{(k)}(x)=0.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 24.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, nur genauer [mm] (x^n-x_0^n)/(x-x_0)=\summe_{i=1}^{n-1} x^{n-i}x_0^{i-1} [/mm] aber auch das ist der lim=0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Sa 24.09.2011 | | Autor: | TFMaster |
Im Grunde musst du bei dieser Aufgabe nichts rechnen.
Erkläre dir kurz selbst was Differenzierbarkeit im Grunde bedeutet:
2 Funktionen teilen sich einen Punkt (Müssen stetig sein! Eine Funktion die nicht stetig ist kann NICHT differenzierbarsein!) und gehen ohne knick ineinander über.
Was bedeutet ohne knick? Die Steigung muss den selben Faktor haben. also [mm]f1'(0)=m = f2'(0)=m[/mm]
Jetzt solltest du verstehen, warum diese Aufgabe ohne jegliches Rechnen möglich ist, wenn du dir die Ableitungen der beiden Teilfunktionen genauer ansiehst
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