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Hallo ihr!
Komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter:
Seien [mm] U\subset\IR^{n} [/mm] offen und [mm] f,g\in C^{k}(U). [/mm] Dann gilt für [mm] \alpha\in\IN^{n}_{0} [/mm] mit Betrag von [mm] \alpha\le [/mm] k und [mm] x\in [/mm] U:
[mm] D^\alpha(fg)(x)= \summe_{\beta\le\alpha}{\alpha \choose \beta}*D^\beta f(x)*D^{\alpha-\beta}*g(x).
[/mm]
Dabei definieren wir für [mm] \alpha, \beta\in\IN^{n}_{0}:
[/mm]
1.) [mm] \beta\le\alpha [/mm] genau dann wenn für alle [mm] 1\le j\le [/mm] n gilt: [mm] \beta_{j}\le\alpha_{j} [/mm] und
2.) [mm] {\alpha \choose \beta}:= \bruch{\alpha!}{(\alpha-\beta)!*\beta!}.
[/mm]
Nun meine Fragen dazu: Bedeutet das k, dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] k-mal stetig diff'bar sind? Und wenn ja, was bringt mir dann: Betrag von [mm] \alpha\le [/mm] k?
Wir haben gelernt, dass [mm] D^{\alpha}f:= \bruch{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}***\bruch{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}*f [/mm] ist. Wieso ist [mm] D^{\alpha}(fg)(x) [/mm] nun eine Summe?
Zu Aufgabenteil 1.) habe ich leider gar keine Idee! Habt ihr vielleicht einen Tip für mich?
Kann man 2.) mir Induktion lösen? Denn ich weiß ja, dass [mm] \bruch{\alpha1}{(\alpha-\beta)!*\beta!}=\bruch{\alpha*(\alpha-1)*(\alpha-2)***(\alpha-\beta+1)}{1*2***\beta} [/mm] ist.
Danke schon mal für eure Mühe!
Lieben Gruß Jessi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 02.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Jessi
1. Nr 2 ist die Definition von [mm] {\alpha \choose \beta}; [/mm] das sollst du nicht! beweisen!
2. Die Summe steht da, weil ein Produkt abgeleitet wird. Schreib dir mal die Produktregegel für [mm] f,g\inR [/mm] auf etwa bis (f*g)''' und vergleich mit der Summenformel. Dann siehst du dass es auf eine Induktion nach [mm] |\alpha| [/mm] rausläuft, die ganz entsprechend läuft, wie der Beweis der binomischen Formel für [mm] (a+b+c+...)^{n}. [/mm] Du mußt nur die 2 Summen, die bei einmal weiterdiff. entstehen gegeneinander verschieben, und die Additionsformeln für [mm] \vektor{n\\ k} [/mm] verwenden. Guter Rat dazu: erst mal die ersten paar Schritte (also bis [mm] \alpha [/mm] =3 oder 4 einfach ohne Summenzeichen aufschreiben, meist sieht man dann schon, wie die Induktion läuft!
> Seien [mm]U\subset\IR^{n}[/mm] offen und [mm]f,g\in C^{k}(U).[/mm] Dann gilt
> für [mm]\alpha\in\IN^{n}_{0}[/mm] mit Betrag von [mm]\alpha\le[/mm] k und
> [mm]x\in[/mm] U:
> [mm]D^\alpha(fg)(x)= \summe_{\beta\le\alpha}{\alpha \choose \beta}*D^\beta f(x)*D^{\alpha-\beta}*g(x).[/mm]
>
> Dabei definieren wir für [mm]\alpha, \beta\in\IN^{n}_{0}:[/mm]
>
> 1.) [mm]\beta\le\alpha[/mm] genau dann wenn für alle [mm]1\le j\le[/mm] n
> gilt: [mm]\beta_{j}\le\alpha_{j}[/mm] und
> 2.) [mm]{\alpha \choose \beta}:= \bruch{\alpha!}{(\alpha-\beta)!*\beta!}.[/mm]
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> Nun meine Fragen dazu: Bedeutet das k, dass [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]\beta[/mm] k-mal stetig diff'bar sind? Und wenn ja, was bringt
> mir dann: Betrag von [mm]\alpha\le[/mm] k?
[mm] f,g\in C^{k} [/mm] bedeutet f,g k-mal differenzierbar. [mm] \alpha, \beta [/mm] sind natürliche Vektoren,ihr Betrag muss kleiner k sein damit man die Produktregel für f,g anwenden kann, und die Ableitungen nach [mm] \alpha_{i} [/mm] vertauschbar sind
>
> Wir haben gelernt, dass [mm]D^{\alpha}f:= \bruch{\partial^{\alpha_{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}}***\bruch{\partial^{\alpha_{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}*f[/mm]
> ist. Wieso ist [mm]D^{\alpha}(fg)(x)[/mm] nun eine Summe?
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> Zu Aufgabenteil 1.) habe ich leider gar keine Idee! Habt
> ihr vielleicht einen Tip für mich?
Ich hoffe der Tip oben reicht dir! Ein grundsätzlicher Rat am Anfang: viele n-dimensionale Probleme bzw. Sätze sehen einfacher aus, wenn man sie 1 oder 2-dim ansieht, und die Beweise laufen oft gleich oder entsprechend.
> Kann man 2.) mir Induktion lösen? Denn ich weiß ja, dass
> [mm]\bruch{\alpha1}{(\alpha-\beta)!*\beta!}=\bruch{\alpha*(\alpha-1)*(\alpha-2)***(\alpha-\beta+1)}{1*2***\beta}[/mm]
> ist.
Siehe oben
du brauchst noch die Definition von [mm] \alpha!=\alpha_{1}¡* \alpha_{2}!.........*\alpha_{n}!
[/mm]
> Danke schon mal für eure Mühe!
Gern geschehen, wenns hilft
Lieben Gruß leduart
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