Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 14.07.2009 | | Autor: | tony1v |
| Aufgabe | sei f eine funktion defeniert durch:
f(x,y)= [mm] |xy|^\alpha [/mm]
für welche werte ist die funktion in punkt(0,0) defferenzierbar? |
Hallo zusammen
meine überlegung ist :
sei [mm] \varepsilon(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{|xy|^\alpha }{\wurzel{x^2 +y^2}}
[/mm]
wir haben 2|xy| [mm] \le x^2 +y^2 [/mm] daraus folgt:
[mm] \varepsilon(x,y)\le \bruch{(x^2+y^2)^\alpha}{2^\alpha\wurzel{x^2+y^2}}= 2^{-\alpha}(x^2+y^2)^{\alpha -\bruch{1}{2}}
[/mm]
ich sehe dass [mm] \limes_{||(x,y)||\rightarrow\ 0} \varepsilon(x,y) [/mm] =0 für alle [mm] \alpha [/mm]
oder habe ich die grundlage von Ana I vergessen.
vielen Dank für jede Antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 14.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sei f eine funktion defeniert durch:
> f(x,y)= [mm]|xy|^\alpha[/mm]
> für welche werte ist die funktion in punkt(0,0)
> defferenzierbar?
> Hallo zusammen
>
> meine überlegung ist :
>
> sei [mm]\varepsilon(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{|xy|^\alpha }{\wurzel{x^2 +y^2}}[/mm]
>
> wir haben 2|xy| [mm]\le x^2 +y^2[/mm] daraus folgt:
>
> [mm]\varepsilon(x,y)\le \bruch{(x^2+y^2)^\alpha}{2^\alpha\wurzel{x^2+y^2}}= 2^{-\alpha}(x^2+y^2)^{\alpha -\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> ich sehe dass [mm]\limes_{||(x,y)||\rightarrow\ 0} \varepsilon(x,y)[/mm]
> =0 für alle [mm]\alpha[/mm]
Das gilt doch nur für [mm] $\alpha >\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Und dann müsstest du noch argumentieren, warum die Differenzierbarkeit folgt. Ich nehme an, du meinst, dass das nichtlineare Restglied $r(h) $ in
$f(x+h) =f(x) + [mm] Df_x(h) [/mm] +r(h) $
die Bedingung [mm] $\lim_{\|h\|\to 0} \bruch{r(h)}{\|h\|} [/mm] = 0$ erfüllen muss. Nur sehe ich nicht, wieso das dein [mm] $\varepsilon(x,y)$ [/mm] ist.
Tipp: notwendig ist die Existenz der partiellen Ableitungen
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Mi 15.07.2009 | | Autor: | tony1v |
| Aufgabe | Erstmal Vielen Dank Für deine Antwort:
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ich habe in einem Buch gefunden allerdings aus Frankreich!!!
sei f une funktion [mm] \IR^2 \to \IR
[/mm]
f ist in punkt (0,0) deferenzierbar wenn es ein funktion [mm] \varepsilon [/mm] gibt so dass:
f(x,y)= f(0,0) [mm] +\wurzel{x^2+y^2} \varepsilon(x,y) [/mm] mit
[mm] \limes_{||(x,y)||\rightarrow\ 0} \varepsilon(x,y) [/mm] =0
das ist super einfach um zu zeigen ob eine funktion deferezierbar oder nicht.
aber ob das stimmt weiss ich nicht.
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> ich habe in einem Buch gefunden allerdings aus
> Frankreich!!!
> sei f une funktion [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
>
> f ist in punkt (0,0) deferenzierbar wenn es ein funktion
> [mm]\varepsilon[/mm] gibt so dass:
>
> f(x,y)= f(0,0) [mm]+\wurzel{x^2+y^2} \varepsilon(x,y)[/mm] mit
>
> [mm]\limes_{||(x,y)||\rightarrow\ 0} \varepsilon(x,y)[/mm] =0
> das ist super einfach um zu zeigen ob eine funktion
> deferezierbar oder nicht.
Das Wort heisst "differenzierbar"
> aber ob das stimmt weiss ich nicht.
Das trifft dann zu, wenn man schon
voraussetzen darf, dass die Tangential-
ebene im Punkt (0/0) die Ebene z=f(0,0)
sein muss. Dies wäre z.B. der Fall,
wenn man vorgängig zeigen kann,
dass
[mm] $\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}(0,0)=\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}(0,0)=0$
[/mm]
Kümmere dich also mal um die
partiellen Ableitungen, wie Rainer
schon geraten hat !
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 15.07.2009 | | Autor: | tony1v |
| Aufgabe | | Vielen Dank für Dein Hinweis |
hier gilt doch [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0) [/mm] =0
was ist dann wenn ich zeige dass [mm] \limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] und [mm] \limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)
[/mm]
ist das was Rainer gemeint hat
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> Vielen Dank für Deinen Hinweis
> hier gilt doch [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)\ =\ \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)\ =0[/mm]
Ob dies der Fall ist, hängt nun aber wirklich
vom Wert des Exponenten [mm] \alpha [/mm] ab !
Für diejenigen [mm] \alpha, [/mm] für die f(0,0) gar nicht
definiert ist, ist f dort natürlich auch nicht
differenzierbar. Allenfalls könntest du dann
noch versuchen, ob man dann f durch eine
geeignete ad hoc - Festlegung eines Wertes
für f(0,0) trotzdem noch differenzierbar
machen kann.
> was ist dann wenn ich zeige dass
> [mm]\limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)[/mm]
> und [mm]\limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)[/mm]
>
> ist das was Rainer gemeint hat
Um die partiellen Ableitungen aufzuschreiben,
betrachtest du am besten zunächst den ersten
Quadranten und schreibst
[mm] f(x,y)=x^{\alpha}*y^{\alpha}
[/mm]
Für die anderen Quadranten gibt es dann nur
Vorzeichenwechsel zu beachten.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 15.07.2009 | | Autor: | tony1v |
f ist doch für alle [mm] \alpha \not= [/mm] 0 defeniert der fall von [mm] 0^0
[/mm]
allgemein wenn:
$ [mm] \limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0) [/mm] $
$ [mm] \limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0) [/mm] $
ist dann f in punkt (0,0) defferenzierbar oder nicht.
vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 15.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank
> f ist doch für alle [mm]\alpha \not=[/mm] 0 defeniert
Ist f in (0,0) def., wenn [mm] \alpha [/mm] <0 ?
> der fall von
> [mm]0^0[/mm]
> allgemein wenn:
>
> [mm]\limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)[/mm]
>
> [mm]\limes_{(x,y))\rightarrow\(0,0)} \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)= \bruch{\partial f}{\partial y}(0,0)[/mm]
>
> ist dann f in punkt (0,0) defferenzierbar oder nicht.
Ja
FRED
>
> vielen Dank
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 15.07.2009 | | Autor: | tony1v |
was ist dann der unterschid zwischen defferenzierbar und total defferenzierbar.
danke schön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mi 15.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank
> was ist dann der unterschid zwischen defferenzierbar und
> total defferenzierbar.
differenzierbar = total differenzierbar
FRED
>
> danke schön
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