matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Folgen und Grenzwerte > Differenzierbarkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzierbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Mi 05.11.2008
Autor: Tatze18

Aufgabe
Bestimme, ob die FUnktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist!

a) f(x)= x² für [mm] x\le [/mm] 0
         x³ für x >  0

b) f(x)= -x²+2x+1 für [mm] x\le [/mm] 0
          x²+2x+1 für x > 0

c) f(x)= 2x²+1 für [mm] x\le [/mm] 0
         x³+1  für x > 0

d) f(x) = x² - [mm] \left| x \right| [/mm]

e) f(x)=  [mm] \left| x \right|³ [/mm]

Hallo an alle: Ich habe mich mal an die Aufgaben gemacht und würde mich freuen, wenn der Eine oder Andere mal einen Blick drauf werfen könnte:

a) linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-0}{x-0} [/mm] = x

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³-0}{x-0} [/mm] = x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

b)
linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²+2x+1 - 1}{x-0} [/mm] = x+2

x [mm] \to [/mm] 0 --> 2

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x²+2x+1 - 1}{x-0} [/mm] = -x+2

x [mm] \to [/mm] 0 --> 2

Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

c)

linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{2x²+1-1}{x-0} [/mm] = 2x

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³+1-1}{x-0} [/mm] = x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

d)
f(x)=    x²+x für [mm] x\le [/mm] 0
         x²-x für x >  0

linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] ?bruch{x²+x-0}{x-0} = x+1

x [mm] \to [/mm] 0 --> 1

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-x-0}{x-0} [/mm] = x-1

x [mm] \to [/mm] 0 --> -1



Die Funktion ist nicht differenzierbar w.z.b.w.

e)

d)
f(x)=    -x³ für [mm] x\le [/mm] 0
         x³  für x >  0

linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x³}{x-0} [/mm] = -x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³}{x-0} [/mm] = x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0



Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.


Hoffe, ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen ;)





        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Mi 05.11.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Hallo an alle: Ich habe mich
> mal an die Aufgaben gemacht und würde mich freuen, wenn der
> Eine oder Andere mal einen Blick drauf werfen könnte:

> a) linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-0}{x-0}[/mm] = x
>
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0

Ich will nur einmal richtig meckern, was die Schreibweise betrifft:
Ein Limes ist eine Zahl, und keine Funktion. Wenn du einen linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert hast, kannst du auch spezielle Schreibweisen verwenden:

[mm] \lim_{x\rightarrow 0-} [/mm]   - linksseitig
[mm] \lim_{x\rightarrow 0+} [/mm]   - rechtsseitig

Hier musst du nun also schreiben:

f'(0) = [mm] \lim_{x\rightarrow 0-} \bruch{x^{2}-0}{x-0} [/mm] = [mm] \lim_{x\rightarrow 0} [/mm] (x) = 0.

Im Folgenden überprüfe ich nur noch die Ergebnisse.

>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³-0}{x-0}[/mm] = x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

[ok]




> b)
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²+2x+1 - 1}{x-0}[/mm] = x+2
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 2
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x²+2x+1 - 1}{x-0}[/mm] = -x+2
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 2
>  
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

Alles richtig [ok].



> c)
>  
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{2x²+1-1}{x-0}[/mm] = 2x
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³+1-1}{x-0}[/mm] = x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

[ok]




> d)
>  f(x)=    x²+x für [mm]x\le[/mm] 0
>           x²-x für x >  0
>  
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] ?bruch{x²+x-0}{x-0} = x+1
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 1
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-x-0}{x-0}[/mm] = x-1
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> -1
>  
> Die Funktion ist nicht differenzierbar w.z.b.w.

Genau [ok]



> e)
>  
> d)
>  f(x)=    -x³ für [mm]x\le[/mm] 0
>           x³  für x >  0
>  
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x³}{x-0}[/mm] = -x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³}{x-0}[/mm] = x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
>
>
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.
>  

Auch richtig! [ok]
Die Berechnung usw. klappen also alle, nur noch die Schreibweise üben :-)

Stefan.

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Mi 05.11.2008
Autor: Tatze18

Ich bedanke mich rechtherzlich, das mit der Schreibweise werd ich mir merken, hier im Forum ist es ein bisschen schwierig, mit den ganzen html-Befehlen, aber dein Rat hilft mir weiter!

Danke
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]