Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
jeder weiß, dass eine Funktion im Punkt [mm]x_0[/mm] differenzierbar heisst, wenn der folgende Grenzwert existiert.
[mm] \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm]
oder:
[mm] \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(h)}{h} = 0[/mm]
Ich soll aber die Differenzierbarkeit mit dem [mm]\varepsilon - \delta[/mm]-Kriterium zeigen. Nur hab ich da keine Ahnung, wie ich das anstellen soll.
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Vielen Dank und liebe Grüße,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 20.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das [mm] \epsilon \delta [/mm] Kriterium ist nichts anderes, als den GW. zeigen.
Wie ist den bei dir lim definiert?
wenn $ [mm] \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $ existiert, heisst das doch, es gibt eine Zahl a mit
$ [mm] \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a [/mm] $
und das heisst genauer, zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] \delta, [/mm] so dass aus [mm] |x-x_0|,\delta [/mm] folgt,
[mm] |\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-a|<\epsilon.
[/mm]
D.h. du musst auf die Def. von GW zurueck. und wirklich ein [mm] \delta(\epsilon,x_0) [/mm] finden
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
vielen Dank.
Verstehe ich es richtig, dass dann das [mm]|x-x_0|[/mm] mein [mm]\delta[/mm] ist.
Viele Grüsse,
Crispy
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> Verstehe ich es richtig, dass dann das [mm]|x-x_0|[/mm] mein [mm]\delta[/mm]
> ist.
Hallo,
nein.
Dein [mm] \delta [/mm] ist ja nicht variabel.
Du gibtst ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] vor. Passend zu diesem (und in der Regel abhängig von diesem und vom [mm] x_0) [/mm] mußt Du ein [mm] \delta [/mm] angeben, so daß für alle x, die nicht weiter als [mm] \\delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] entfernt sind [mm] (|x-x_0|<\delta) [/mm] die Funktionswerte nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderleigen.
Vielleicht gibtst Du mal Deine konkrete Funktion an und zeigst, wie weit Du kommst.
Gruß v. Angela
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