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Hallo zusammen. Ich habe mal eine wichtige Frage.
Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to \begin{cases} 0, & \mbox{} x\le 0 \mbox{} \\ exp(\bruch{-1}{x}), & \mbox{} x>0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie das f auf ganz [mm] \IRdifferenzierbar [/mm] ist und geben Sie die Ableitung ab.
Also gut. Da ja Stetigkeit notwendig für differenzierbarkeit ist, würde ich hier als allererstes ansetzen. Da es sich um 0, x [mm] \le [/mm] 0 um eine stetige Ergänzung handelt, reicht es, [mm] exp(\bruch{-1}{x}), [/mm] x>0 auf stetigkeit zu überprüfen. Das heißt ich benötige hier, [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}exp(\bruch{-1}{x}) [/mm] (das soll der rechtsseitige Grenzwert sein) und der Grenzwert dieser Funktion ist 0 (wie könnte ich das aber konkret beweisen???) Von daher wäre die Funktion an der Stelle 0 und somit auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Zu der ABleitung komme ich im nächsten Thread. MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Wohin strebt denn [mm] $-\bruch{1}{x}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] ?
Und wohin strebt [mm] $e^z$ [/mm] für [mm] $z\rightarrow-\infty$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Ja so ging mir das auch gerade durch den kopf [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{-1}{x}=-\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}exp(-\infty)=0 [/mm] Wenn man das so schreiben kann. Ansonsten nehme ich deine Schreibweise. Für die ABleitung verwende ich die Kettenregel. Die bringt mich dann auf [mm] \bruch{exp(\bruch{-1}{x})}{x^2}
[/mm]
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mi 25.06.2008 | | Autor: | ron |
Hallo,
es ist die Berechnung nicht vollständig, wenn auch i.O.
Die Ableitung soll für die GESAMTE Funktion angegeben werden. Wie war gleich der Definitionsbereich? f(x)=0 ergibt f'(x)=0 ist immer wieder ein Polynome vom Grad Null.
Hinweis: Bei einigen Funktionen ist die Umwandlung der Brüche in Potenzen leichter zu handhaben:
[mm] exp(\bruch{-1}{x}) [/mm] = [mm] exp(-x^{-1})
[/mm]
Somit die Ableitung nach Kettenregel: exp(- [mm] x^{-1} [/mm] ) * [mm] -(-1)x^{-2}
[/mm]
Entspricht nach Umschreibung wieder der angegeben Lösung, allerdings nur für x>0!
Gruß
Ron
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