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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Do 27.01.2005 | | Autor: | freak |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
einen wunderschönen gruten abend an alle, die nicht schlafen können.
ich hab da mal ne Frage: Wie finde ich heraus, ob
[mm] cos²\vektor{ \bruch{1-x}{1+x}} [/mm] ; [mm] x^{2x} [/mm] und [mm] |(x-1)(x-2)²(x-3)^{3}|
[/mm]
differenzierbar ist oder nicht. Beim ersten vermute ich ja, das aufgrund, das cos x auf [mm] \IR [/mm] diff'bar ist, auch diese Funktion diff'bar ist. Aber bei den anderen beiden habe ich keine ahnung wie das zeigen soll:
würde mich riesig über ne lösung von euch freuen
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Hallo freak,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") , schön dass du zu uns gefunden hast.
> ich hab da mal ne Frage: Wie finde ich heraus, ob
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> [mm]\cos^2\left( \bruch{1-x}{1+x} \right)[/mm] ; [mm]x^{2x}[/mm] und [mm]|(x-1)(x-2)²(x-3)^{3}|[/mm]
>
> differenzierbar ist oder nicht. Beim ersten vermute ich ja,
> das aufgrund, das cos x auf [mm]\IR[/mm] diff'bar ist, auch diese
> Funktion diff'bar ist.
Aber: was passiert denn bei x=-1? Da ist der Bruch doch gar nicht definiert?!
> Aber bei den anderen beiden habe ich
> keine ahnung wie das zeigen soll:
>
> würde mich riesig über ne lösung von euch freuen
>
Also grundsätzlich solltest du dir überlegen, was du über die  Ableitung einer Funktion weißt.
Du bildest also den Differenzenquotienten und stellst fest, ob er seine Grenzwerte von links und von rechts an jeder Stelle des Definitionsbereichs übereinstimmen.
An den Stellen, wo das nicht zutrifft, ist die Funktion nicht differenzierbar. 
Probier's mal und zeig uns deine Ergebnisse.
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Schönen Abend, freak,
bei einer solchen Frage muss man immer auch wissen: "Wo?"
So ist - wie bereits erwähnt - die erste Funktion bei x=-1 gar nicht definiert, mithin dort weder stetig noch differenzierbar.
Die zweite Funktion (Funktionsgleichung y = [mm] x^{2x} [/mm] = [mm] e^{2x*ln(x)} [/mm] ) ist nur für x>0 definiert, die dritte jedoch auf ganz [mm] \IR [/mm] .
Die ersten beiden Funktionen sind jeweils durch Verkettung von - natürlich nur auf der jeweiligen Definitionsmenge! - differenzierbaren Funktionen aufgebaut und daher dort selbst differenzierbar.
Bei der 3. Funktion liegt der Fall anders, die Betragsfunktion ist zwar stetig, aber nicht überall differenzierbar.
Daher wird die vorliegende Funktion vermutlich an den Stellen x=1, x=2 und x=3 zwar stetig, aber nicht an allen dreien differenzierbar sein. Den Beweis dafür solltest Du selbst "versuchen". Dazu musst Du den Funktionsterm zunächst "betragstrichfrei" schreiben" , anschließend die Ableitung bilden und schließlich die Grenzwerte der Ableitung für die drei erwähnten Stellen (jeweils von links und rechts) berechnen. Sind diese gleich: differenzierbar; sind sie's nicht: nicht differenzierbar!
Ich bin zu faul, um's durchzurechnen, vermute aber: differenzierbar bei x=2, nicht differenzierbar bei x=1 und bei x=3.
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