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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 So 17.06.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x\le \mbox{ 1} \\ 2-(2-x)^{2}, & \mbox{für } x \mbox{ > 1} \end{cases}
[/mm]
In welchen Punkten [mm] a\in \IR [/mm] ist f differenzierbar? Wie lautet die Ableitung f'(a)? |
Hi,
bei der Aufgabe weiß ich momentan nicht, wie ich anfangen soll.
Spricht man hier von links- bzw. rechtsseitig diffbar?
Wenn ja, dann ist die linksseitige Ableitung: f'(x)=2x
und die rechtsseitige Ableitung f'(x)=2*(2-x).
Aber in welchen Punkten a ist f jetzt diffbar und wie lautet die Ableitung?
Ich habe keine Ahnung, wie man das rechnerisch zeigen kann. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 So 17.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal ist nur der Pkt x=1 zu untersuchen, denn überall sonst sind ja die einzelnen fkt stetig. du hast auch schon den links und rechtseitigen Wert der Ableitung, wenn die bei x=1übereinstimmen überall diffb, sonst bei 1 nicht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 17.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort. Links- und rechtsseitige Ableitung bei x=1 stimmen nicht überein:
[mm] f'(1)=2\*1=2
[/mm]
und
[mm] f'(x)=-2\*(2-x) [/mm] (hier hatte ich mich in dem Post (siehe oben) verrechnet)
und dann ist f'(1)=-2 und damit [mm] \not=f'(1)=2\*1=2
[/mm]
also ist f nicht diffbar in x=1.
Jetzt noch die Frage:
Wie lautet die Ableitung f'(a)? Verstehe ich nicht. Ich habe ja zwei Ableitungen. Einmal die Rechts- und einmal die Linksseitige!?
Wie lautet denn dann die Ableitung f'(a)?
MfG
barsch
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Du musste eine Fallunterscheidung machen, genau wie in der Aufgabenstellung. Den Fall x=1 kannst du ja direkt angeben f'(1)=2. Fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 17.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke.
Hatte meinen Artikel eben verbessert. Weil der links- und rechtsseitige Wert doch nicht übereinstimmen, hatte das Minus vor der Klammer übersehen.
Heißt das, f ist in 1 nicht diffbar. Und für x > bzw < 1 muss ich dann die Fallunterscheidung machen?
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 So 17.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
genau!
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 So 17.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke, es hat geholfen.
MfG
barsch
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Hi, barsch,
> Links- und rechtsseitige Ableitung
> bei x=1 stimmen nicht überein:
>
> [mm]f'(1)=2\*1=2[/mm]
>
> und
>
> [mm]f'(x)=-2\*(2-x)[/mm] (hier hatte ich mich in dem Post (siehe
> oben) verrechnet)
Im Gegenteil: Dort ist die Ableitung RICHTIG; hier ist sie falsch!
Du muss ja die Kettenregel anwenden und dabei kommt durch das Nachdifferenzieren der Klammer ein Minuszeichen hinzu, dass das Minus von vorher genau aufhebt!
> und dann ist f'(1)=-2 und damit [mm]\not=f'(1)=2\*1=2[/mm]
Du musst das jeweils als Grenzwert schreiben: f'(1) kann ja nicht gleichzeitig 2 und -2 sein!
> also ist f nicht diffbar in x=1.
Nach meiner Korrektur ist
[mm] \limes_{x\rightarrow 1-h} [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 1-h} [/mm] (2x) = 2
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 1+h} [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 1+h} [/mm] 2(2-x) = 2
Damit ist die Funktion f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Deine Ableitung sieht dann so aus
(wobei ich wieder x als Variable verwende; nicht a):
[mm] f'(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } x \le 1 \\ 2(2-x), & \mbox{für } x > 1 \end{cases}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 So 17.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank für die ausführliche Korrektur.
Das bringt mich jetzt sehr viel weiter.
MfG
barsch
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