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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Haase |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x*cos(|x|) im Punkt x0=-pi/2 auf Differenzierbarkeit |
Hallo Allerseits,
wäre nett wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet.
ich dachte immer man muss den linken und den rechten grenzwert berechnen und wenn der gleich ist ist die funktion in diesem punkt differenzierbar.
da komme ich aber dann bei beiden auf 0
ich errinnere mich schwach an sowas wie:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] (f(x+h)-f(x)) / h
Gruß Haase
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> Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x*cos(|x|) im Punkt
> x0=-pi/2 auf Differenzierbarkeit
> Hallo Allerseits,
> wäre nett wenn ihr mir einen Ansatz geben könntet.
Du kannst natürlich im Prinzip den Grenzwert der Sekantensteigung berechnen (und, ja, in manchen Fällen kann es sinnvoll sein, diese Grenzwertbestimmung in linken und rechten Grenzwert zu zerlegen, die beiden einseitigen Grenzwerte müssen dann gleich sein müssen, damit der Grenzwert existiert).
Aber ich denke, Du schiesst hier mit Kanonen auf Spatzen. Diese Aufgabe ist wohl eher eine Scherzaufgabe. Denn [mm]\cos(x)[/mm] ist eine gerade Funktion. Es gilt also, für alle [mm]x[/mm]: [mm]\cos(-x)=\cos(x)[/mm]. Aus diesem Grund ist der Betrag in Deiner Aufgabe der reinste Leerlauf, denn es ist [mm]\cos(|x|)=\cos(x)[/mm] für alle [mm]x[/mm].
Damit reduziert sich die Aufgabe darauf zu zeigen, dass [mm]f(x)=x\cdot \cos(x)[/mm] im Punkt [mm]x_0=-\frac{\pi}{2}[/mm] differenzierbar ist (sie ist sogar überall differenzierbar: weil Produkt überall differenzierbarer Funktionen).
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> ich dachte immer man muss den linken und den rechten
> grenzwert berechnen und wenn der gleich ist ist die
> funktion in diesem punkt differenzierbar.
> da komme ich aber dann bei beiden auf 0
>
> ich errinnere mich schwach an sowas wie:
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] (f(x+h)-f(x)) / h
Ja, stimmmt, es ist (definitionsgemäss)
[mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
Nach Einsetzen der Definition von [mm]f(x)[/mm] und gleichzeitiger Verwendung von [mm]\cos(|x+h|)=\cos(x+h)[/mm] bzw. [mm]\cos(|x|)=\cos(x)[/mm] also:
[mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)\cdot \cos(x+h)-x\cdot\cos(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\Big[\cos(x+h)+x\cdot\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\Big][/mm]
Nun können wir diesen Limes in eine Summe zweier Limites zerlegen (und zwar nur deshalb, weil diese beiden Limites existieren, wie sich zeigen wird) und einerseits Stetigkeit des [mm]\cos[/mm] und andererseits unsere Kenntnis der Beziehung [mm]\cos'(x)=-\sin(x)[/mm] benutzen:
[mm]f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\cos(x+h)+x\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
= \cos(x)-x\cdot\sin(x)[/mm]
Eigentlich hätten wir hier sogar anstelle von [mm]x[/mm] den konkreten Wert [mm]-\frac{\pi}{2}[/mm] einsetzen müssen. Aber, wie Du siehst, kommt es darauf gar nicht an: der Grenzwert existiert für alle [mm]x\in \IR[/mm]. [mm]f(x)[/mm] ist daher nicht nur an der Stelle [mm]x_0=-\frac{\pi}{2}[/mm], sondern überall differenzierbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 So 10.06.2007 | | Autor: | Haase |
Vielen Dank dir Somebody. Sehr ausführlich erklärt. Jetzt habe ich es verstanden.
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