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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 So 09.12.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] differenzierbar [mm] \Rightarrow \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)
[/mm]
Zeige, dass die Umkehrung dieser Aussage falsch ist. |
Muss man am besten einfach ein Beispiel einer Funktion angeben, bei der die Umkehrung nicht gilt?
Und wie kann man eigentlich zeigen, ob eine Funktion differenzierbar bzw. nicht differenzierbar ist?
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Hi,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] differenzierbar [mm]\Rightarrow \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)[/mm]
>
> Zeige, dass die Umkehrung dieser Aussage falsch ist.
> Muss man am besten einfach ein Beispiel einer Funktion
> angeben, bei der die Umkehrung nicht gilt?
> Und wie kann man eigentlich zeigen, ob eine Funktion
> differenzierbar bzw. nicht differenzierbar ist?
schau dir mal die fkt. $f(x)=|x|$ an.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 10.12.2007 | | Autor: | jokerose |
Hallo Matthias,
Vielen Dank mal für die Antwort.
Aber ich weiss jetzt nicht genau, wie ich diese Aussage mit der Funktion |x| zeigen kann.
Es ist mir klar, dass die Fuktion nicht differenzierbar ist im Nullpunkt.
Ich habe die Aufgabe dann folgendermassen zu lösen versucht:
Sei f(x) = |x|. Wähle [mm] x_{0}=0 \Rightarrow \bruch{|h|-|h|}{2*h} [/mm] = 0.
Daraus folgt dann aber nicht, dass f differenzierbar ist, da ja f im Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 0 nicht differenzierbar ist.
Ist dies so korrekt? Oder muss ich die Aufgabe anders lösen?
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Hi,
> Hallo Matthias,
> Vielen Dank mal für die Antwort.
> Aber ich weiss jetzt nicht genau, wie ich diese Aussage
> mit der Funktion |x| zeigen kann.
> Es ist mir klar, dass die Fuktion nicht differenzierbar
> ist im Nullpunkt.
>
> Ich habe die Aufgabe dann folgendermassen zu lösen
> versucht:
>
> Sei f(x) = |x|. Wähle [mm]x_{0}=0 \Rightarrow \bruch{|h|-|h|}{2*h}[/mm]
> = 0.
> Daraus folgt dann aber nicht, dass f differenzierbar ist,
> da ja f im Punkt [mm]x_{0}[/mm] = 0 nicht differenzierbar ist.
>
>
> Ist dies so korrekt? Oder muss ich die Aufgabe anders
> lösen?
ich denke, das ist so korrekt. Allerdings ist die aufgabe, so wie du sie gepostet hast, fuer mich nicht 100% klar. Ich verstehe sie so: die aussage ist
f diffbar => der limes des zentralen diff.quotienten existiert (und ist gleich der ableitung)
wobei meiner meinung nach die betonung auf der existenz des limes liegt. Wenn man naemlich zusaetzlich noch die existenz einer ableitung f'(x) annimmt, ist f natuerlich auch diffbar, das kann aber nicht der sinn der aufgabe sein.
die essenz der aufgabe ist imho, dass aus der konvergenz des zentralen diff.-quotienten nicht die diffbarkeit folgen muss und dafuer reicht eigentlich ein beispiel.
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Di 11.12.2007 | | Autor: | jokerose |
Ja das hat mich auch ein wenig verwundert. Aber habe die Aufgabe wirklich korrekt abgeschrieben.
Dann werde ich sie also auf diese Weise lösen. Vielen Dank für die Hilfe.
Gruss Jokerose
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