Differenzierbar, Differenzenqu < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige dass die Funktionen x -> [mm] x^{-n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] differenziebar auf [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \{0\} [/mm] sind, und berechne ihre ABleitung |
f(x) = [mm] x^{-n} [/mm] gilt
1/h(f(x+h) - f(x) )=1/h( [mm] (x+h)^{-n}- x^{-n} [/mm] )= [mm] 1/h(\frac{1}{(x+h)^n} [/mm] - [mm] \frac{1}{x^n} [/mm] )=1/h( [mm] \frac{x^n - (x+h)^n}{(x+h)^n x^n})
[/mm]
Nun hätte ich binomischen lehrsatz genutzt, aber dann komme ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
Soweit alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und auch die Idee mit dem binomischen Lehrsatz.
Bedenke, dass sich dann im Zähler [mm] $x^n$ [/mm] eliminiert und anschließend kannst Du $h_$ ausklammern und kürzen.
Dann die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ ...
Gruß
Loddar
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Hallo
1/h( $ [mm] \frac{x^n - (x+h)^n}{(x+h)^n x^n}) [/mm] $ =1/h( [mm] \frac{x^n -(x^n + \sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} h^{k} x^{n-k})}{h \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} h^{k-1} x^{n-k}})= [/mm] 1/h [mm] (\frac{- \sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} h^{k} x^{n-k}}{h \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} h^{k-1} x^{n-k}})
[/mm]
Nun?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mo 25.02.2013 | | Autor: | chrisno |
Da ist ein [mm] $x^n$ [/mm] auf der Strecke geblieben. Du musst strategisch vorgehen: Die h müssen so untergebracht werden, dass nicht irgendwie eine Null im Nenner entsteht. Daher ist es nicht zielführend ein h im Nenner auszuklammern, lass es in der Summe. Hingegen muss das 1/h vor dem Ganzen im Zähler untergebracht werden. Dann schau nach, was passiert, wenn h gegen Null geht.
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1/h *($ [mm] \frac{x^n -(x^n + \sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} h^{k} x^{n-k})}{x^n \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} h^{k} x^{n-k}})= (\frac{- \sum_{k=1}^n \vektor{n \\ k} h^{k-1} x^{n-k}}{ \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} h^{k} x^{n-k} x^n}) [/mm] $
Ich verstehe es hier nicht ganz wie ich das am geschicktesten lösen kann beim Grenzübergang?
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Hallo,
> 1/h *([mm] \frac{x^n -(x^n + \sum_{k=1}^n \vektor{n \\
k} h^{k} x^{n-k})}{x^n \sum_{k=0}^n \vektor{n \\
k} h^{k} x^{n-k}})= (\frac{- \sum_{k=1}^n \vektor{n \\
k} h^{k-1} x^{n-k}}{ \sum_{k=0}^n \vektor{n \\
k} h^{k} x^{n-k} x^n})[/mm]
>
> Ich verstehe es hier nicht ganz wie ich das am
> geschicktesten lösen kann beim Grenzübergang?
Das sieht soweit gut aus.
Mach dir klar, dass h gegen 0 geht. Das heißt alle Potenzen $h$, [mm] $h^2$, $h^3$ [/mm] usw. gehen gegen 0. Dadurch überlebt sowohl im Zähler nur ein Summand ($k = 1$) als auch im Nenner ($k = 0$).
Viele Grüße,
Stefan
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