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| Aufgabe | | f(x) e^-x cosx ,f' (x) =? |
Hallo nocmal,
In dieser Aufgabe soll ich die erste Ableitung herbei führen.
ich hab mich schon im Internet ausführlich darüber informiert, und auch im Studium, da ich aber "nur" ein Fernstudium absolviere sind 4 stunden für das ganze Thema Differenzialrechnung wohl ein bisschen wenig.
Mein Problem ist das ich das mit den Ableitungen noch nicht so ganz verstanden hab, und ich wohl ohne Hilfe da nicht zur Lösung komme.
wär nett wenn mir jemand dabei helfen kann.
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
Du meinst hier wohl die Funktion $f(x) \ = \ [mm] e^{-x}*\cos(x)$ [/mm] ?
Dann musst Du hier mit der  Produktregel vorgehen, da Du eine Kombination aus zwei Teilfunktionen mit $u \ = \ [mm] e^{-x}$ [/mm] und $v \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm] hast.
Ermittle Dir zunächst die beiden Teilableitungen $u'_$ und $v'_$ und setze anschließend in die Formel $(u*v)' \ = \ u'*v+u*v'$ ein.
Gruß
Loddar
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Da bin ich wieder,
Also würde die Formel der Produktregel für meine Aufgabe lauten:
(f*g)'= [mm] e^x*cos(x)+e^{-x}*-sin(x)
[/mm]
wie müsst ich weider voran gehen?
(Ich glaube so komm ich endlich auf einen grünen Zweig?)
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 20.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Da bin ich wieder,
>
> Also würde die Formel der Produktregel für meine Aufgabe
> lauten:
>
> (f*g)'= [mm]e^x*cos(x)+e^{-x}*-sin(x)[/mm]
>
Korrekt
> wie müsst ich weider voran gehen?
> (Ich glaube so komm ich endlich auf einen grünen Zweig?)
>
Jetzt weistestgehend vereinfachen, was bei e-Fkt. nach Ableitung per Produktregel immer geht, ist [mm] e^{...} [/mm] auszuklammern. Dann hast du wieder eine Funktion, die nach der Produktregel abgeleitet werden könnte (falls du f'') oder sogar f''' brauchst).
> Grüsse Markus
Marius
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Hey,
Sorry aber da komm ich noch nicht kanns mit , könnte mir jemand das mit dem vereinfachen in bissel genauer erklären?
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Markus1007,
was genau möchtest du wissen? Hast du das Ableiten verstanden oder möchtest du nur wissen, wir man die abgeleitete Funktion vereinfacht, indem man das "e" herauszieht ?
Lieben Gruß,
Dirk
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Hey,
also eigentlich würde mich beides interessieren!
wie gesagt ich hab das alles noch nicht so richtig verstanden.
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo,
also du hast die Funktion
[mm]f(x)=e^{-x} * cos(x)[/mm]
Diese könntest du auch allgemein schreiben als:
[mm]f(x)=g(x) * h(x)[/mm]
Die Teilfunktionen wären dann folgende:
[mm]g(x)=e^{-x}[/mm]
[mm]h(x)=cos(x)[/mm]
Die Produktregel besagt nun folgendes:
[mm]f'(x)=g(x)*h'(x)+h(x)*g'(x)[/mm]
Jetzt berechnen wir die Ableitungen der Teilfunktionen. Wenn du die e-Funktion differenzierst kommt wieder die e-Funktion heraus. [mm]e^{x}[/mm] abgeleitet ergibt also wieder [mm]e^{x}[/mm]. Da hier aber ein -x im Exponent der e-Funktion steht, muss man nachdifferenzieren, d.h. die Ableitung des Exponents -x wird an die e-Funktion ranmultipliziert. D.h. -x abgeleitet ergibt -1 und damit wäre die Ableitung von [mm]e^{-x}[/mm] dann [mm]-e^{-x}[/mm]. So hier die Ableitungen der Teilfunktionen:
[mm]g'(x)=(e^{-x})'=-1*e^{-x}=-e^{-x} [/mm]
[mm]h'(x)=(cos(x))'= -sin(x)[/mm]
Jetzt setzen wir unsere errechneten Funktionen ein:
[mm]f'(x)=e^{-x}*(cos(x))' + cos(x)*(e^{-x})'[/mm]
[mm]f'(x)=e^{-x}*(-sin(x)) + cos(x)*(-e^{-x})[/mm]
[mm]f'(x)=-e^{-x}*sin(x) -cos(x)*e^{-x})[/mm]
Das ist schon die Ableitung. Zum weiteren vereinfachen, kann man das [mm]e^{-x})[/mm] jetzt auch noch ausklammern:
[mm]f'(x)=-e^{-x}*sin(x) -cos(x)*e^{-x})[/mm]
[mm]f'(x)=-e^{-x}*sin(x)+ -e^{-x}*cos(x))[/mm]
[mm]f'(x)=-e^{-x}(sin(x)+cos(x))[/mm]
Man zieht quasi einfach nur den e-Faktor heraus. Als einfaches Parallelbeispiel:
[mm]5*3+5*2=25[/mm]
[mm]5*(3+2)=25[/mm]
Ich hoffe dir ist das jetzt klarer. Hier noch das Bild zu der Funktion (blau) und dessen Ableitung (rot):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hey,
ich bins wieder. Meine Frage zur vorherigen Lösung ist wie werden Teilfunktionen dann eingesetzt, ich kann mir keinen Reim darauf machen,
und das nicht so richtig aus dem Lösungsweg erkennen!(Oder ist
in der ersten Eingesetzten Formel ein cos falsch?)
Wennmir das jemand vielleicht nochmal etwas näher erklären könnte.
Grüsse Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 21.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hey,
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> ich bins wieder. Meine Frage zur vorherigen Lösung ist wie
> werden Teilfunktionen dann eingesetzt, ich kann mir keinen
> Reim darauf machen,
> und das nicht so richtig aus dem Lösungsweg erkennen!
Was genau kannst du nicht erkennen?
> Wennmir das jemand vielleicht nochmal etwas näher erklären
> könnte.
Okay, dann versuch ich dir das nochmal genau zu erklären, wie man auf die Lösung der Ableitung kommt:
Du hast zunächst deine Funktion vorgegeben:
[mm] f(x)=e^{-x} \cdot [/mm] cos(x)
Zunächst folgt jetzt die Analyse: Um was für eine Art Funktion handelt es sich hier?
Die Einzelnen Funktion [mm] u(x)=e^{-x} [/mm] und v(x)=cos(x) sind mit einem Mal miteinander vernüpft. Es handelt sich also letzendlich um ein Produkt.
Also muss man beim Ableiten als aller erstes die Produktregel anwenden.
Es gilt:
f(x)=u(x)*v(x)
f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x) oder ganz kurz:
(uv)'=u'v+v'u (das solltest du dir unbedingt merken!)
Okay, wir haben u(x) und v(x) schon ausgemacht.
[mm] u(x)=e^{-x}
[/mm]
Bilden wir also die Ableitung von u(x):
[mm] u'(x)=-e^{-x}
[/mm]
Wie kommt diese Ableitung zu stande?
Die Ableitung einer e-Funktion ist die e Funktion selbst. [mm] (e^x)'=e^x [/mm] . Das ist ja das Schöne bei der e-Funktion.
Woher kommt jetzt aber das -?
Das Argument bei der e Funktion, also das -x muss auch noch nach der Kettenregel abgeleitet werden. Die Ableitung von -x ist -1.
Es gilt:
[mm] (e^{g(x)})'=e^{g(x)} \cdot [/mm] g'(x)
Oder allgemeiner:
f(g(x)), wobei f die übergeordnete Funktion ist und g(x) die sog. innere Funktion:
[mm] (f(g(x))'=f'(g(x))\cdot [/mm] g'(x)
Das hast du ja bei der Aufgabe mit der Tangente von gestern auch richtig gemacht mit dem Beispiel:
(sin(2x))'=2cos(2x) da die innere Ableitung gleich 2 ist.
Stünde da jetzt zb [mm] (sin(x^2))'=2x\cdot cos(x^2) [/mm] da die innere Ableitung gleich 2x ist.
Also, [mm] u(x)=e^{-x} [/mm] , [mm] u'(x)=-e^{-x}.
[/mm]
v(x)=cos(x) v'(x)=-sin(x) (die innere Ableitung ist ja gleich eins).
Jetzt nehmen wir uns das Schema von oben wieder her:
f(x)=u(x)*v(x)
f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)
Und können dann einfach einsetzen für f'(x):
[mm] f'(x)=-e^{-x} \cdot [/mm] cos(x) + (-sin(x) [mm] \cdot e^{-x})
[/mm]
[mm] =-e^{-x} \cdot [/mm] cos(x) - sin(x) [mm] \cdot e^{-x}
[/mm]
Jetzt das [mm] -e^{-x} [/mm] ausklammern:
[mm] f'(x)=-e^{-x} \cdot [/mm] (cos(x)+sin(x))
und du bist fertig.
War es das, was du hören wolltest?
LG
Kroni
>
> Grüsse Markus
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