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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich habe da mal ein paar Fragen zu einer Aufgabe bezüglich Differenzialgleichungen. Naja, eigentlich nur wegen den Ansätzen.
Bei einem an einer Schraubenfeder schwingenden Körper gilt für den Ausschlag f (in m) die Differenzialgleichung f(t)= -50*f(t). Die Amplitude beträgt A=0,4 (m) und wird zum Zeitpunkt t=0 (in s) erreicht.
a) Geben sie die Funktion f an. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer der Feder.
Allgemeine Gleichung
f(t) = A*sin(kx+c)
f(t) = k*A*cos(kx+c)
f(t) = [mm] -k^2*A*sin(kx+c)
[/mm]
Da f(t)= -50*f(t) => [mm] k=\wurzel{50}
[/mm]
Eingesetzt in f(t) = A*sin(kx+c) mit der Amplitude 0,4
f(t) = [mm] 0,4*sin(\wurzel{50}x+c) [/mm]
Mit dem Punkt f(0) = 0,4
0,4 = [mm] 0,4*sin(\wurzel{50}x+c) [/mm] -> dann kann man c bestimmen
Und ich erhalte irgendeine Funktion f.
[mm] \bruch{2\pi}{k} [/mm] => Schwingungsdauer
b) Welche maximale Geschwindigkeit erreicht der Körper?
Leite ich das s-t Diagramm ab, dann bekomme ich quasi das Geschwindigkeitsdiagram. Dort wo die höchsten Y-Werte sind, ist auch die höchste Geschwindigkeit, das heißt ich muss f(x) =0 setzen, da bei einer (co)Sinus-Funktion wie in unserem Beispiel die höchsten Werte die Extrema (der Ableitung) sind.
Stimmt das?
c) Welche Geschwindigkeit hat er zum Zeitpunkt t=0,2
f(0,2) = Geschwindigkeit
Stimmt das ?
d) Berechnen Sie den Weg, den der Körper in der ersten halben Sekunde zurücklegt.
f(0) = [mm] y_{1}
[/mm]
f(0,5) = [mm] y_{2}
[/mm]
Weg = [mm] y_{2}- y_{1}
[/mm]
Stimmt das?
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Do 01.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Phoney
im grossen Ganzen richtig.
> Bei einem an einer Schraubenfeder schwingenden Körper gilt
> für den Ausschlag f (in m) die Differenzialgleichung
> f(t)= -50*f(t). Die Amplitude beträgt A=0,4 (m) und wird
> zum Zeitpunkt t=0 (in s) erreicht.
>
> a) Geben sie die Funktion f an. Bestimmen Sie die
> Schwingungsdauer der Feder.
> Allgemeine Gleichung
>
> f(t) = A*sin(kx+c)
> f(t) = k*A*cos(kx+c)
> f(t) = [mm]-k^2*A*sin(kx+c)[/mm]
>
> Da f(t)= -50*f(t) => [mm]k=\wurzel{50}[/mm]
>
> Eingesetzt in f(t) = A*sin(kx+c) mit der Amplitude 0,4
>
> f(t) = [mm]0,4*sin(\wurzel{50}x+c)[/mm]
>
> Mit dem Punkt f(0) = 0,4
>
> 0,4 = [mm]0,4*sin(\wurzel{50}x+c)[/mm] -> dann kann man c bestimmen
eigentlich : 0,4 = [mm]0,4*sin(c)[/mm] daraus [mm] c=\pi/2 sin(a+\pi/2)=cosa
[/mm]
> Und ich erhalte irgendeine Funktion f.
f=0.4*cos(k*t)
> [mm]\bruch{2\pi}{k}[/mm] => Schwingungsdauer
richtig.
>
> b) Welche maximale Geschwindigkeit erreicht der Körper?
>
> Leite ich das s-t Diagramm ab, dann bekomme ich quasi das
> Geschwindigkeitsdiagram. Dort wo die höchsten Y-Werte sind,
> ist auch die höchste Geschwindigkeit, das heißt ich muss
> f(x) =0 setzen, da bei einer (co)Sinus-Funktion wie in
> unserem Beispiel die höchsten Werte die Extrema (der
> Ableitung) sind.
> Stimmt das?
Ist richtig, aber bei sin Fkt. weiss man auch ohne Ableitung, wo die Extrema liegen.
> c) Welche Geschwindigkeit hat er zum Zeitpunkt t=0,2
>
> f(0,2) = Geschwindigkeit
>
> Stimmt das ?
richtig
> d) Berechnen Sie den Weg, den der Körper in der ersten
> halben Sekunde zurücklegt.
> f(0) = [mm]y_{1}[/mm]
> f(0,5) = [mm]y_{2}[/mm]
> Weg = [mm]y_{2}- y_{1}[/mm]
stimmt nur, wenn 0,5s<T/2 ist. da ja y2-y1=0 wenn [mm] t=2\pi/k, [/mm] stimmt aber hier!
gut gemacht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Wunderbar - Danke fürs Korrigieren.
Grüße Phoney
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