Differenzialgleichung von ex.F < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich beschäftige mich mit der Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums.
Hierbei lautet die Differenzialglichung:
f'(t)=k*f(t)
die momentane Änderungsrate f'(t) ist demnach proportional zum momentanen Bestand f(t). Doch was bedeutet in dem Fall proportional? Und wieso das k? Ist k nicht die Steigung? also praktisch das a von f(x)= c [mm] *a^{t} [/mm] also im übertragenen sinne die % Zahl, um die die Funktion pro Zeiteinheit wächst?
Also ist K=a= Wachstums bzw. Zerfallskonstante?
Und des weiteren wird gesagt, dass f(t)= [mm] c*e^{k*t} [/mm] (k nüsste doch ln(a) sein und doch nicht a?) die Lösung der Differenzialgleichung f'(x)=k*f(x) ist.
Doch weshalb ist dies so? Ist f(t)= [mm] c*e^{k*t} [/mm] nicht viel mehr die Stammfunktion von f'(t)=k*f(t) ? Denn:
f'(t)=k*f(t) = [mm] k=\bruch{f'(t)}{f(t)}
[/mm]
Stammfunktion: k*t +c = ln(/f(t)/) multipliziert mit [mm] e^x [/mm]
f(t)= [mm] c*e^{k*t}
[/mm]
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> Hallo, ich beschäftige mich mit der Differenzialgleichung
> des exponentiellen Wachstums.
> Hierbei lautet die Differenzialglichung:
> f'(t)=k*f(t)
> die momentane Änderungsrate f'(t) ist demnach proportional
> zum momentanen Bestand f(t). Doch was bedeutet in dem Fall
> proportional?
Genau das, was Du soeben hingeschrieben hast: dabei ist $k$ eine Konstante und für alle $t$ soll gelten [mm] $f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)$.
> Und wieso das k? Ist k nicht die Steigung?
Die Steigung wovon? - "Die Steigung" gibt es nicht. $f'(t)$ wäre die Steigung an den Graphen von $f(t)$ an der Stelle $t$ bzw. im Punkt $(t|f(t))$. Die Steigung $f'(t)$ des Graphen von $f$ an der Stelle $t$ ist also nicht etwa $k$, sondern das $k$-fache des Funktionswertes $f(t)$ an dieser Stelle, eben [mm] $k\cdot [/mm] f(t)$.
> also praktisch das a von f(x)= c [mm]*a^{t}[/mm] also im
> übertragenen sinne die % Zahl, um die die Funktion pro
> Zeiteinheit wächst?
Ich verstehe Dich nur sehr bedingt, aber betrachte mal folgende Umformungskette, wobei ich [mm] $f(t)=c\cdot e^{kt}$ [/mm] setze (mit $c := f(0)$):
[mm]f(t+1)=f(0)\cdot e^{k(t+1)}=f(0)\cdot e^{kt}\cdot e^k=e^k\cdot f(t)[/mm]
Jener Faktor, um den sich $f(t)$ pro Zeiteinheit vergrössert, ist also [mm] $e^k$.
[/mm]
> Also ist K=a= Wachstums bzw. Zerfallskonstante?
Die Konstante $k$ in der Diff'gleichung [mm] $f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)$ bezeichnet man in der Tat als "Zerfallskonstante" (im Falle $k<0$) bzw. "Wachstumskonstante" (im Falle $k>0$), aber dies ist, wie ich oben plausibel zu machen versuchte, nicht der Faktor, um den $f(t)$ pro Zeiteinheit kleiner wird bzw. wächst.
Für $k<0$: Bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass $k$ so etwas wie die "Zerfallswahrscheinlichkeit" (z.B. eines einzelnen radioaktiven Teilchens) ist. Denn es ist ja eben [mm] $k\cdot f(t_0)$ [/mm] die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl Teilchen $f(t)$ zur Zeit [mm] $t_0$ [/mm] abnimmt.
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> Und des weiteren wird gesagt, dass f(t)= [mm]c*e^{k*t}[/mm] (k
> nüsste doch ln(a) sein und doch nicht a?
Ja, [mm] $a=e^k$, [/mm] also (beidseitig logarithmiert): [mm] $\ln(a)=k$
[/mm]
>) die Lösung der
> Differenzialgleichung f'(x)=k*f(x) ist.
> Doch weshalb ist dies so?
Falsche Gleichung bzw. Variable $x$ statt $t$: Du hattest [mm] $f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)$ geschrieben. An sich ist die Wahl des Namens der Funktionsvariablen nicht wichtig, aber man sollte deren Namen doch wohl besser nicht mitten im Satz ändern.
> Ist f(t)= [mm]c*e^{k*t}[/mm] nicht viel
> mehr die Stammfunktion von f'(t)=k*f(t) ?
Darin scheint sich alle Welt (Du eingeschlossen) ja einig zu sein. Was Ableiten von [mm] $f(t)=c\cdot e^{kt}$ [/mm] nach $t$ (unter Verwendung der Kettenregel) ganz problemlos zeigt:
[mm]f'(t)=c\cdot e^{kt}\cdot k=k\cdot f(t)[/mm]
> Denn:
> [mm]f'(t)=k*f(t) \red{=} k=\bruch{f'(t)}{f(t)}[/mm]
Das von mir rot markierte Gleichheitszeichen war wohl [mm] $\Rightarrow$ [/mm] gemeint.
> Stammfunktion: k*t +c = ln(/f(t)/) multipliziert mit [mm]e^x[/mm]
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Multipliziert? - Multipliziert! - und dann noch mit [mm] $e^x$ [/mm] ($x$ wohlgemerkt: weshalb kommt Dir denn nun schon wieder dieser Variablenname $x$ in die Quere?)
> f(t)= [mm]c*e^{k*t}[/mm]
Gut, Du separierst zuerst, dann integrierst Du und am Ende wendest Du auf beide Seiten der Gleichung die (natürliche) Exponentialfunktion an:
[mm]\begin{array}{lcll}
\displaystyle f'(\tau) &=& \displaystyle k\cdot f(\tau) &\big| \div f(\tau)\\[.2cm]
\displaystyle \frac{f'(\tau)}{f(\tau)} &=& \displaystyle k &\big| \int_0^t\\[.3cm]
\displaystyle \int_0^t\frac{f'(\tau)}{f(\tau)}\; d\tau &=& \displaystyle \int_0^t k\; d\tau\\[.3cm]
\displaystyle \ln f(t)-\ln f(0) &=& \displaystyle kt &\big| +\ln f(0)\\[.2cm]
\displaystyle \ln f(t) &=& \displaystyle \ln f(0)+kt &\big| \exp_e\\[.2cm]
\displaystyle f(t) &=& \displaystyle e^{\ln f(0)+kt}=f(0)\cdot e^{kt}
\end{array}[/mm]
Mit $c := f(0)$ also [mm] $f(t)=c\cdot e^{kt}$.
[/mm]
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