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| Aufgabe | Ein Mann läuft die positive y-Achse entlang und zieht an einer Leine der Länge a>o seine Uhr hinter sich her. zum Startzeitpunkt t=0 steht der mann im Punkt (0,0) und die Uhr liegt im Punkt (a,0). Welche Kurve im [mm] \IR^2 [/mm] beschreibt die Uhr?
gib die Differenzialgleichung für a=1 an! |
Ihr müsst mir unbedingt helfen!!!!!!!! Muss die Aufgabe bis morgen Abend haben und komme nicht weiter.
haben nicht mal richtig gelernt, wie man Differenzialgleichungen aufstellt.
Bisher habe ich eine Skizze gemacht und herausgefunden, dass die leine mit der Uhr sich immer mehr an die y- achse im (0,y) nähert, vielleicht sogar die y- Achse irgendwann schneidet.
Ich weiß aber nicht, wie man dafür eine Differentialgleichung bildet.
Bitte helft mir!
mfg Steffi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und keiner Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 23.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Steffi!
> Ein Mann läuft die positive y-Achse entlang und zieht an
> einer Leine der Länge a>o seine Uhr hinter sich her. zum
> Startzeitpunkt t=0 steht der mann im Punkt (0,0) und die
> Uhr liegt im Punkt (a,0). Welche Kurve im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt
> die Uhr?
>
> gib die Differenzialgleichung für a=1 an!
> Ihr müsst mir unbedingt helfen!!!!!!!! Muss die Aufgabe
> bis morgen Abend haben und komme nicht weiter.
>
> haben nicht mal richtig gelernt, wie man
> Differenzialgleichungen aufstellt.
>
> Bisher habe ich eine Skizze gemacht und herausgefunden,
> dass die leine mit der Uhr sich immer mehr an die y- achse
> im (0,y) nähert, vielleicht sogar die y- Achse irgendwann
> schneidet.
>
> Ich weiß aber nicht, wie man dafür eine
> Differentialgleichung bildet.
Eine Skizze ist doch schonmal ein guter Ausgangspunkt. Überlege zunächst, was du weisst:
1. Der Mann startet am Punkt (0,0) und läuft in positive y-Richtung; seine Koordinaten in Abhängigkeit von der Zeit sind also [mm] $(0,y_{\text{Mann}}(t))$. [/mm] Über [mm] $y_{\text{Mann}}(t)$ [/mm] denken wir gleich noch einmal nach.
2. Die Uhr liegt am Anfang im Punkt $(0,a)$. Daraus folgt, dass die Länge der Leine gerade a ist. Der Abstand zwischen Mann und Uhr ist also a (und das bleibt auch so). Nehmen wir also an, dass die Uhr zum Zeitpunkt t die Koordinaten [mm] $(x_{\text{Uhr}}(t), y_{\text{Uhr}}(t))$ [/mm] hat. Das der Abstand konstant ist, ergibt sich:
[mm] x_{\text{Uhr}}^2 + (y_{\text{Mann}}- y_{\text{Uhr}})^2 = a^2 [/mm].
Der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen x-Achse und Leine ist gegeben durch
[mm] \tan \alpha = \bruch{y_{\text{Mann}}- y_{\text{Uhr}}}{x_{\text{Uhr}}} [/mm] .
Diese beiden Gleichungen kann du ineinander einsetzen:
[mm] x_{\text{Uhr}}^2 (1+\tan^2\alpha) = a^2 [/mm]
3. Die Kraft auf die Uhr wirkt immer entlang der Leine; damit gilt dies auch für die Beschleunigung, die die Uhr erfährt. Daher gilt auch für die x- und y-Komponente der Beschleunigung
[mm] \tan \alpha = \bruch{\ddot y_{\text{Mann}}-\ddot y_{\text{Uhr}}}{\ddot x_{\text{Uhr}}} [/mm] .
Damit hast du schon Alles, was du brauchst.
Noch zwei Tipps:
1. Wenn du die Gleichung [mm] $x_{\text{Uhr}}^2 [/mm] + [mm] (y_{\text{Mann}}- y_{\text{Uhr}})^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] $ zweimal nach der Zeit ableitest, ergibt sich:
[mm] 2* x_{\text{Uhr}} * \dot x_{\text{Uhr}} + 2* (y_{\text{Mann}}- y_{\text{Uhr}}) * (\dot y_{\text{Mann}}- \dot y_{\text{Uhr}}) = 0 [/mm].
[mm] 2* \dot x_{\text{Uhr}}^2 + 2* x_{\text{Uhr}} * \ddot x_{\text{Uhr}} + 2 * (\dot y_{\text{Mann}}- \dot y_{\text{Uhr}})^2 + 2* (y_{\text{Mann}}- y_{\text{Uhr}}) * (\ddot y_{\text{Mann}}- \ddot y_{\text{Uhr}}) = 0 [/mm].
2. Zur Vereinfachung: Der Mann geht vermutlich mit konstanter Geschwindigkeit [mm] $v_{\text{Mann}}$. [/mm] Damit ist [mm] $y_{\text{Mann}}=v_{\text{Mann}}*t [/mm] $ und [mm] $\dot y_{\text{Mann}} [/mm] = v$, [mm] $\ddot y_{\text{Mann}} [/mm] = 0$.
Viele Grüße
Rainer
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