Differenzialgleichung1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der gegebenen Differezialgleichung erster Ordnung: [mm] xyy'-y^2=x^2 [/mm] |
Hallo allerseits, also ich habe diese Dgl. versucht nach dem Schema "Integration durch Variation der Konstanten" zu lösen, aber nach mehrmaligen Versuchen komme ich leider nicht auf die richtige Lösung:
Als erstes hab ich die Homogene Dgl. erstellt: [mm] y'yx-y^2=0
[/mm]
Nach "Trennung der Variablen" komme ich auf folgende Lösung: y=x*C
Danach die Inhomogene Dgl.: [mm] y'yx-y^2=x^2
[/mm]
Nach "Integration durch Variation der Konstanten" (C=K) K->K(x) komme ich auf folgende Lösung: K'(x)=x, [mm] K(x)=\bruch{1}{2}x^2+C [/mm] das eingestzt in y=K(x)*x bringt mich zu dem Ergebniss: [mm] y=\bruch{1}{2}x^3+Cx
[/mm]
Allerdings soll als Ergebniss: [mm] y=\pm x\wurzel{2ln|cx|} [/mm] rauskommen.
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
das wird hier mit deiner Methode nicht klappen, obwohl ich es jetzt nicht nachgerechnet habe.
Probiere mal folgendes: dividiere die Gleichung durch xy und substituiere anschließend etwa
[mm] z=\bruch{y}{x} [/mm] <=> x*z=y
wobei du die zweite Version für die Substitution des Differenzails dy benötigst. So solltest du auf eine lösbare DGL 1. Ordnung für eine Funktion z(x) kommen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Hey Diophant,
ok ich versuch das mal so. Also die homogene Dgl: [mm] xyy'-y^2=0 [/mm] dividiere ich xy oder schon von Anfang an?
Danke
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Hallo,
> Hey Diophant,
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> ok ich versuch das mal so. Also die homogene Dgl:
> [mm]xyy'-y^2=0[/mm] dividiere ich xy oder schon von Anfang an?
Nein du dividierst $ [mm] xyy'-y^2=x^2 [/mm] $ durch $xy$ und erhältst also
$y'-y/x=x/y$
Jetzt gehts weiter mit der vorgeschlagenen Substitution von Diophant.
Betrachte der vollständigkeithalber noch die Fälle, wenn x=0 oder y=0. Da du oben durch das Produkt beider geteilt hast, gehst du ja davon aus, dass [mm] xy\not=0.
[/mm]
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Ok, so hatte ich eben auch angefangen.
Ich hab dann: [mm] y'=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}, [/mm] mache dann die Substitution: [mm] u=\bruch{y}{x}, [/mm] y=xu
Nach neuer Dgl. und Trennung der Variablen hab ich dann: [mm] \bruch{du}{2u}=dx
[/mm]
Nach Integration und Auflösung nach u komme ich auf u = [mm] e^{2x}*C^2
[/mm]
Wieder eingesetzt in y = xu hab ich dann [mm] y=x*e^{2x}*C^2
[/mm]
Irgendwo hab ich jetzt noch ein Fehler, aber ich bekomm es nicht raus...:-/
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Calli |
> Ok, so hatte ich eben auch angefangen.
>
> Ich hab dann: [mm]y'=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x},[/mm] mache dann die
> Substitution: [mm]u=\bruch{y}{x},[/mm] y=xu
[mm] $y'=\cdots\;?$ [/mm] (Produktregel ist anzuwenden !)
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Ach verdammt, garnicht darauf geachtet.
Vielen Dank für den Tipp, versuche es später dann nochmal. Brauche erstmal eine Auszeit.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Calli |
> ...
> Als erstes hab ich die Homogene Dgl. erstellt: [mm]y'yx-y^2=0[/mm]
Was schon nicht geht bzw. falsch ist.
Es handelt sich hier um eine nichtlineare DGL, für die die Begriffe "homogen" und "inhomogen" nicht zutreffend sind und deshalb auch deren Lösungsmethoden - beschränkt auf lineare DGL - nicht angewendet werden können.
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 07.07.2013 | | Autor: | Yves-85 |
Vielen Dank für eure Hilfe, hab die Aufgabe nun endlich lösen können 
Mir war nicht klar das man bei der Substitution den Ausdruck y=xu nicht weiter verwendet in den danach kommenden Gleichungen.
Nun aber endlich gesehen und verstanden.
Vielen Dank nochmal.
Viele Grüße
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