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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a eine Konstante.
[mm] $\br{du}{dt} [/mm] = [mm] \br{a}{u^2}$ $u(\br{1}{a}=1$ [/mm] |
Hallo.
Könnt ihr das bitte mal korrigieren:
[mm] $\br{du}{dt} [/mm] = [mm] \br{a}{u^2}$ [/mm] mal [mm] u^2 [/mm] mal dt
[mm] $u^2 [/mm] du = a dt$
$ [mm] \br{1}{3}u^2 [/mm] = at+C$ mal drei, wurzel
$u(t) = [mm] \wurzel{3at+3C}$
[/mm]
Nun setze ich ein:
[mm] $u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3C} [/mm] = 1$
[mm] $\wurzel{3+3C} [/mm] = 1$ quadriere
3+3c=1 [mm] \rightarrow [/mm] c = [mm] \br{-2}{3}
[/mm]
Nun zur Probe:
$u(t) = [mm] \wurzel{3at+3*\br{-2}{3}}$
[/mm]
[mm] $u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3*\br{-2}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel{3-2} [/mm] = [mm] \wurzel{1}$
[/mm]
Aber eigentlich ist das ja plusminus eins.
Doch der falsche weg?
Danke!
Gruß
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 26.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Phoney,
> Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die
> spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für
> die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a
> eine Konstante.
>
> [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm] [mm]u(\br{1}{a}=1[/mm]
> Hallo.
>
> Könnt ihr das bitte mal korrigieren:
>
> [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm] mal [mm]u^2[/mm] mal dt
>
> [mm]u^2 du = a dt[/mm]
>
> [mm]\br{1}{3}u^2 = at+C[/mm] mal drei, wurzel
>
Die linke Seie muss lauten, [mm] \br{1}{3}u^3. [/mm] damit muss also der Rest nochmal gerechnet werden.
> [mm]u(t) = \wurzel{3at+3C}[/mm]
>
> Nun setze ich ein:
>
> [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3C} = 1[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3+3C} = 1[/mm] quadriere
>
> 3+3c=1 [mm]\rightarrow[/mm] c = [mm]\br{-2}{3}[/mm]
>
> Nun zur Probe:
>
> [mm]u(t) = \wurzel{3at+3*\br{-2}{3}}[/mm]
>
> [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3*\br{-2}{3}} = \wurzel{3-2} = \wurzel{1}[/mm]
>
> Aber eigentlich ist das ja plusminus eins.
>
Die Probe beinhaltet auch den Nachweis der Gültigkeit der DGL. Bei Deiner Lösung wärst Du dann auf Unstimmigkeiten gestossen. Also nicht nur den Anfangswert kontrollieren.
> Doch der falsche weg?
>
> Danke!
>
> Gruß
> Phoney
>
>
>
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> > Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die
> > spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für
> > die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a
> > eine Konstante.
> >
> > [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm] [mm]u(\br{1}{a}=1[/mm]
> > Hallo.
> >
> > Könnt ihr das bitte mal korrigieren:
> >
> > [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm] mal [mm]u^2[/mm] mal dt
> >
> > [mm]u^2 du = a dt[/mm]
> >
> > [mm]\br{1}{3}u^2 = at+C[/mm] mal drei, wurzel
> >
>
> Die linke Seie muss lauten, [mm]\br{1}{3}u^3.[/mm] damit muss also
> der Rest nochmal gerechnet werden.
>
> > [mm]u(t) = \wurzel{3at+3C}[/mm]
> >
> > Nun setze ich ein:
> >
> > [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3C} = 1[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{3+3C} = 1[/mm] quadriere
> >
> > 3+3c=1 [mm]\rightarrow[/mm] c = [mm]\br{-2}{3}[/mm]
> >
> > Nun zur Probe:
> >
> > [mm]u(t) = \wurzel{3at+3*\br{-2}{3}}[/mm]
> >
> > [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3*\br{-2}{3}} = \wurzel{3-2} = \wurzel{1}[/mm]
>
> >
> > Aber eigentlich ist das ja plusminus eins.
> >
>
> Die Probe beinhaltet auch den Nachweis der Gültigkeit der
> DGL. Bei Deiner Lösung wärst Du dann auf Unstimmigkeiten
> gestossen. Also nicht nur den Anfangswert kontrollieren.
Was genau soll das heißen? Welcher Anfangswert? Was muss ich denn noch kontrollieren? Und wie soll ich das machen?
Dankschön!
Gruß
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Was er meinte ist, daß du die allgemeine Lösung, also bevor du den Anfangswert einsetzt, mal in die DGL einsetzen sollst. Daran erkennst du, ob die allg. Lösung richtig ist.
Danach setzt du dann den Anfangswert ein, und rechnest so weiter, wie du es getan hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Ist es nicht das:
> Was er meinte ist, daß du die allgemeine Lösung, also bevor
> du den Anfangswert einsetzt, mal in die DGL einsetzen
> sollst. Daran erkennst du, ob die allg. Lösung richtig
> ist.
$ u(t) = [mm] \wurzel{3at+3\cdot{}\br{-2}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel{3at-2} [/mm] $ ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoney!
Wie weiter oben bereits angedeutet, muss es in der Umformung mal heißen [mm] $\bruch{1}{3}*u^{\red{3}} [/mm] \ = \ ...$
Damit lautet also Deine gesuchte Funktion auch: $u(t) \ = \ [mm] \wurzel[\red{3}]{3a*t-2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Achso, ich Schussel.
Na dann ist es jetzt klar.
Vielen Dank euch allen!
Schönes WE wünsche ich euch,
Johann
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