Differenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Do 17.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
Hallo ich soll mithilfe des Differenzenquotienten die Ableitung von [mm] $\frac{1}{sin(x)}$ [/mm] berechnen. Ich hoffe mir kann dort jemand einmal den Weg zeigen.
[mm] $\frac{d}{dx} \frac{1}{sin(x)}=\frac{\frac{1}{sin(x+h)}-\frac{1}{sin(x)}}{h}$
[/mm]
$sin(x+h)= sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Do 17.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo ich soll mithilfe des Differenzenquotienten die
> Ableitung von [mm]\frac{1}{sin(x)}[/mm] berechnen. Ich hoffe mir
> kann dort jemand einmal den Weg zeigen.
> [mm]\frac{d}{dx} \frac{1}{sin(x)}=\frac{\frac{1}{sin(x+h)}-\frac{1}{sin(x)}}{h}[/mm]
>
> [mm]sin(x+h)= sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)[/mm]
Bilde die Differenz im Zähler des Doppelbruchs, indem du Minuend und Subtrahend durch geeignetes Erweitern gleichnamig machst.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 17.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
> > Hallo ich soll mithilfe des Differenzenquotienten die
> > Ableitung von [mm]\frac{1}{sin(x)}[/mm] berechnen. Ich hoffe mir
> > kann dort jemand einmal den Weg zeigen.
> > [mm]\frac{d}{dx} \frac{1}{sin(x)}=\frac{\frac{1}{sin(x+h)}-\frac{1}{sin(x)}}{h}[/mm]
>
> >
> > [mm]sin(x+h)= sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h)[/mm]
> Bilde die
> Differenz im Zähler des Doppelbruchs, indem du Minuend und
> Subtrahend durch geeignetes Erweitern gleichnamig machst.
> Gruß Abakus
>
Ok danke erst einmal
dann komme ich zu:
$ [mm] \frac{d}{dx} \frac{1}{sin(x)}=\frac{\frac{1-cos(h)-\frac{cos(x)*sin(h)}{sin(x)}}{sin(x)\cdot{}cos(h)+cos(x)\cdot{}sin(h)}}{h}= \frac{1-cos(h)-\frac{cos(x)*sin(h)}{sin(x)}}{h*sin(x)\cdot{}cos(h)+h*cos(x)\cdot{}sin(h)}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 17.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Ok danke erst einmal
> dann komme ich zu:
>
> [mm]\frac{d}{dx} \frac{1}{sin(x)}=\frac{\frac{1-cos(h)-\frac{cos(x)*sin(h)}{sin(x)}}{sin(x)\cdot{}cos(h)+cos(x)\cdot{}sin(h)}}{h}= \frac{1-cos(h)-\frac{cos(x)*sin(h)}{sin(x)}}{h*sin(x)\cdot{}cos(h)+h*cos(x)\cdot{}sin(h)}[/mm]
Also ich komme auf
Hallo,
den Teil (1-cos(h)) könnte man mit (1+cos(h)) erweitern.
Hilfreich kann auch noch der bekannte(?) Satz sein, dass[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)}{h}=1[/mm].
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 17.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
Entschuldigugn aber auf was kommst du? da steht nichts :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 17.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Entschuldigugn aber auf was kommst du? da steht nichts :)
Hallo,
ich hatte mich korrigiert und beim Löschen meines (falschen) Einwandes diese paar Worte übersehen. Dein Zwischenergebnis stimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 17.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
$= [mm] \frac{1-cos(h)-\frac{cos(x)\cdot{}sin(h)}{sin(x)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)} [/mm] =
= [mm] \frac{\frac{1-cos^2(h)}{1+cos(h)}-\frac{cos(x)\cdot{}sin(h)}{sin(x)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)} =\frac{\frac{sin(x)-sin(x)cos^2(h)-cos(x)*sin(h)-cos(x)*cos(h)*sin(h)}{sin(x)+sin(x)cos(h)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)}$
[/mm]
Ich sehe dort irgendwie keinen Fortschritt :) ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Do 17.01.2013 | | Autor: | abakus |
> $=
> [mm]\frac{1-cos(h)-\frac{cos(x)\cdot{}sin(h)}{sin(x)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)}[/mm]
> =
> =
> [mm]\frac{\frac{1-cos^2(h)}{1+cos(h)}-\frac{cos(x)\cdot{}sin(h)}{sin(x)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)} =\frac{\frac{sin(x)-sin(x)cos^2(h)-cos(x)*sin(h)-cos(x)*cos(h)*sin(h)}{sin(x)+sin(x)cos(h)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)}$[/mm]
>
> Ich sehe dort irgendwie keinen Fortschritt :) ist das so
> richtig?
[mm]\frac{\frac{1-cos^2(h)}{1+cos(h)}-\frac{cos(x)\cdot{}sin(h)}{sin(x)}}{h\cdot{}sin(x)\cdot{}cos(h)+h\cdot{}cos(x)\cdot{}sin(h)} =\frac{\frac{sin^2(h)}{1+cos(h)}}{h\cdot{}sin(x+h)}-\frac{\frac{cos(x)\cdot{}sin(h)}{sin(x)}}{h\cdot{}sin(x+h)} [/mm]
[mm]=\frac{sin(h)}{h}*(\frac{\frac{sin(h)}{1+cos(h)}}{sin(x+h)}-\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)}}{sin(x+h)} )[/mm]
Jetzt fröhliches Grenzwertbilden...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Do 17.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
Dankeschön :) aber wie gehe ich denn da ran?
Grenzwertbildung gerade bei solchen trogonometrischen sachen bereitet mir immer extreme Probleme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 17.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Dankeschön :) aber wie gehe ich denn da ran?
> Grenzwertbildung gerade bei solchen trogonometrischen
> sachen bereitet mir immer extreme Probleme
Hallo,
wie bereits erwähnt, geht sin(h)/h gegen 1.
cos(h) geht gegen Null, und sin(x+h) geht natürlich gegen sin(x).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 17.01.2013 | | Autor: | georgi84 |
[mm] $\frac{sin(h)}{h}\cdot{}(\frac{\frac{sin(h)}{1+cos(h)}}{sin(x+h)}-\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)}}{sin(x+h)} [/mm] ) $
für h gegen 0 wäre das dann also:
$ [mm] 1\cdot{}(\frac{\frac{0}{2}}{sin(x)}-\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)}}{sin(x)} [/mm] ) $
$ [mm] 1\cdot{}(\frac{\frac{0}{2}}{sin(x)}-\frac{cos(x)}{sin^2(x)} [/mm] ) $
[mm] $=-\frac{cos(x)}{sin^2(x)} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | abakus |
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> [mm]\frac{sin(h)}{h}\cdot{}(\frac{\frac{sin(h)}{1+cos(h)}}{sin(x+h)}-\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)}}{sin(x+h)} )[/mm]
>
> für h gegen 0 wäre das dann also:
>
> [mm]1\cdot{}(\frac{\frac{0}{2}}{sin(x)}-\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)}}{sin(x)} )[/mm]
>
> [mm]1\cdot{}(\frac{\frac{0}{2}}{sin(x)}-\frac{cos(x)}{sin^2(x)} )[/mm]
>
> [mm]=-\frac{cos(x)}{sin^2(x)} [/mm]
... und das stimmt mit der Ableitung überein, die man auch mit der Quotientenregel erhalten würde.
Gruß Abakus
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