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Hallo,
ich habe hier ein Beispiel, da wird die Differenzierbarkeit von f im Punkt a=1 mithilfe des Differenzenquotienten nachgewiesen. Für x [mm] \not= [/mm] 1 gilt
[mm] \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \begin{cases} x+1, & \mbox{falls } x < 1 \\ -x + 3, & \mbox{falls } x > 1 \end{cases}
[/mm]
Soweit alles klar und für mich nachvollziehbar.
Aber daraus kommt dann ein
= 2 - |x-1|.
Wie kann man "errechnen"??
Zweite Frage:
Insgesamt erhält man in diesem Beispiel
[mm] f'(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{falls x < 1 } \\ 2, & \mbox{falls x = 1 } \\4-2x, & \mbox{falls x >1} \end{cases}
[/mm]
= 2(1- |x-1|). Wie kommt man nun auf dieses?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Di 29.05.2007 | | Autor: | statler |
Hallo noch mal!
> ich habe hier ein Beispiel, da wird die Differenzierbarkeit
> von f im Punkt a=1 mithilfe des Differenzenquotienten
> nachgewiesen. Für x [mm]\not=[/mm] 1 gilt
> [mm]\bruch{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm] = [mm]\begin{cases} x+1, & \mbox{falls } x < 1 \\ -x + 3, & \mbox{falls } x > 1 \end{cases}[/mm]
>
> Soweit alles klar und für mich nachvollziehbar.
> Aber daraus kommt dann ein
> = 2 - |x-1|.
>
> Wie kann man das "errechnen"??
Gute Frage! Dazu gehört vielleicht auch ein bißchen Erfahrung. Wenn du den Graphen der oben gegebenen oder berechneten Funktion zeichnest, erkennst du (hoffntlich), daß das Ding irgendwie mit |x| zusammenhängen könnte. Es geht durch Verschieben und Spiegeln daraus hervor.
Im einzelnen: |x| an der x-Achse gespiegelt gibt -|x|
um 1 nach rechts verschieben gibt -|x-1|
um 2 nach oben verscheiben gibt 2 - |x-1|
Voilá!
Und im 2. Fall ganz analog, da kommt noch eine Streckung dazu..
Gruß
Dieter
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