Differenzenquotient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Mo 05.06.2006 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Eigentlich ist das denk ich eine leichte Aufgabe, aber ich komme trotzdem nicht mehr weiter, vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen:
Sei [mm] f:(a,b)\to\IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar und [mm] x\in(a,b). [/mm] Zeige, dass dann [mm] f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}} [/mm] gilt.
Also, den Differenzenquotient für f' haben wir schon und jetzt soll ich also den für f'' herleiten.
Ich habs einmal folgendermaßen probiert:
[mm] f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f'(x+h)-f'(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}
[/mm]
und hier komm ich dann auch nicht weiter...
Dann hab ichs mal andersrum probiert:
[mm] f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}+\bruch{f(x-h)-f(x)}{h}}{h}
[/mm]
und dann ist ja der erste Bruch gleich f', aber weiter weis ich dann auch nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Bobby!
> Eigentlich ist das denk ich eine leichte Aufgabe, aber ich
> komme trotzdem nicht mehr weiter, vielleicht kann mir einer
> von euch weiterhelfen:
>
> Sei [mm]f:(a,b)\to\IR[/mm] zweimal stetig differenzierbar und
> [mm]x\in(a,b).[/mm] Zeige, dass dann
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}[/mm]
> gilt.
>
> Also, den Differenzenquotient für f' haben wir schon und
> jetzt soll ich also den für f'' herleiten.
>
> Ich habs einmal folgendermaßen probiert:
>
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f'(x+h)-f'(x)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}[/mm]
> und hier komm ich dann auch nicht weiter...
>
> Dann hab ichs mal andersrum probiert:
>
> [mm]f''(x)=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}+\bruch{f(x-h)-f(x)}{h}}{h}[/mm]
> und dann ist ja der erste Bruch gleich f', aber weiter
> weis ich dann auch nicht...
Ich glaube so kommst du nicht weiter.
Versuch es doch mal wie folgt: Da die Funktion zweimal stetig diffbar ist, kannst du die Taylorentwicklung (um $x$) ersten Gerades von $f$ (mit Lagrange-Restglied) berechnen. Diese setzt du nun fuer den Bruch ein; dann hebt sich erstmal fast alles weg bis nur noch zweimal die zweite Ableitung uebrigbleibt. Wenn du jetzt $h$ gegen $0$ gehen laesst, so bekommst du unter Benutzung der Stetigkeit von $f''$ zu dem gewuenschten Ergebnis.
LG Felix
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