Differenzengleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 20.01.2008 | | Autor: | Klothsen |
| Aufgabe | Folgende Zahlenreihe ist gegeben:
Zeit...Wert
1
2
3.......1380
4.......1542
5.......1688
6.......1819
7.......1937
8.......2043
9.......2139
Ermitteln Sie das Funktionsgesetzt und den Wert für t=0. |
Soweit so gut... wir haben zwei Differenzen. Der Wert nimmt von Periode 3 auf 4 um 162 zu, dann folgen 146, 131 , 118, 106 und 96. Der Wert der Zunahme wird immer kleiner und auch hier ist in der Abnahme ein Rhythmus enthalten. Auf eine erste Zunahme von 162 folgt 146 -> also -16, dann -15, -13, -12, -10. Der Rhythmus entspricht also -1 -2 -1 -2 ...
Ich schaffe es aber nicht daraus eine Differenzengleichung herzustellen, aus der ich den Anfangswert t=0 errechnen kann.
Kann mir jemand sagen wie ich dazu kommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Klothsen |
So, ich habs herausgefunden. Für die, die es interessiert. Es geht wiefolgt:
Da sich die Zunahme-Werte ändern (kleiner werden) können wir davon ausgehen, dass die Funktion nicht homogen ist. Es muss also eine Funktion mit Exponent herauskommen.
Zuerst stellt man 2 Bestimmungsgleichungen auf. In diesem Fall wähle ich einfach mal:
[mm] Y_{4} [/mm] = a [mm] \* Y_{3} [/mm] + b und
[mm] Y_{5} [/mm] = a [mm] \* Y_{4} [/mm] + b
Einsetzen:
1542 = a [mm] \* [/mm] 1380 + b
1688 = a [mm] \* [/mm] 1542 + b
Beide nach b umstellen und dann gleichsetzen. Herauskommt:
a = 0,9 und b = 300
Damit haben wir schon mal die Funktion: [mm] Y_{t} [/mm] = 0,9 [mm] \* Y_{t-1} [/mm] + 300
Das ist aber noch nicht das gesuchte Funktionsgesetz. Dieses ermittelt man wiefolgt bei a>1:
[mm] Y_{t} [/mm] = [mm] a^{t}(Y_{0} [/mm] - [mm] \bruch{b}{1-a}) [/mm] + [mm] \bruch{b}{1-a}
[/mm]
Wieder einen beliebigen der gegebenen Werte einsetzen um [mm] Y_{0} [/mm] herauszubekommen. Wenn sich [mm] Y_{0} [/mm] gefunden hat, wieder einsetzen und ausrechnen.
[mm] Y_{0} [/mm] = 777 [mm] \bruch{7}{9}
[/mm]
und als Funktionsgesetz ergibt sich:
[mm] Y_{t} [/mm] = [mm] 0,9^{t} \* [/mm] (-2222 [mm] \bruch{2}{9}) [/mm] + 3000
Fertig! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Mo 21.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke nicht das die Lösung richtig ist. Wenn Du die Werte a und b mit z.B. [mm] Y_6 [/mm] und [mm] Y_7 [/mm] nach Deiner Formel ausrechnest kommst Du auf andere Werte als 0.9 und 300. Ausserdem sind über Deinen Ansatz die Werte Deiner Tabelle nicht genau nachvollziehbar.
Ich hätte es so gemacht
[mm] a_n-3a_{n-1}+3a_{n-2}-a_{n-3}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 2, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Also kann ich [mm] a_2 [/mm] als Funktion von [mm] a_3, a_4 [/mm] und [mm] a_5 [/mm] ausrechnen und somit auch [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_0.
[/mm]
Ich erhalte für [mm] a_0 [/mm] = 781
mfg ullim
|
|
|
|
