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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 21.05.2008 | | Autor: | cosPhi |
| Aufgabe | Gegeben sind 2 iid Gauss-verteilte ZVs X, Y mit [mm] \mu=0 [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2:
[/mm]
[mm] U=\bruch{X^2 - Y^2}{\wurzel{X^2 + Y^2}}
[/mm]
V = [mm] \bruch{2 X Y}{\wurzel{X^2 + Y^2}}
[/mm]
Bestimme die joint pdf [mm] f_{uv}(u,v) [/mm] und zeige dass U und V unabhängige normalverteilte Variablen sind.
Zeige weiter, dass
Z = [mm] \bruch{(X-Y)^2 - 2Y^2}{\wurzel{X^2 + Y^2}}
[/mm]
eine gaussverteilte ZV ist. |
Hi,
Also die Aufgabe um die es geht sehr ihr ja oben.
Ich hab sie fast fertig gelöst (den ersten Teil), ich habe [mm] f_{uv} [/mm] bestimmt sowie daraus die Randdichten [mm] f_u [/mm] und [mm] f_v [/mm] und gezeigt dass diese unabhängige Gauss ZVs sind.
Wo ich jetzt kurz hänge ist die zweite Frage mit Z. Z ist ja nichts anderes als U-V:
Z = U-V
Jetzt weiss ich ja dass U und V jeweils gaussverteilt und unabhängig voneinander sind und zwar mit folgenden Dichten:
[mm] f_u(u) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi \sigma^2}} e^{-\bruch{u^2}{2 \sigma^2}}
[/mm]
[mm] f_v(v) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi \sigma^2}} e^{-\bruch{v^2}{2 \sigma^2}}
[/mm]
Wenn ich diese subtrahiere erhalte ich:
[mm] f_u [/mm] - [mm] f_v [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi \sigma^2}}(e^{-\bruch{u^2}{2 \sigma^2}} [/mm] - [mm] e^{-\bruch{v^2}{2 \sigma^2}})
[/mm]
Ist das bis hier her einmal korrekt?
Falls ja, wie zeige ich dass das Teil nun gaussverteilt ist?!?!
Mein Versuch: Das wäre ja sowas wie eine multimodale Gaussverteilung (nur eben - statt +); da aber [mm] \mu [/mm] bei beiden null ist hat die Kurve nur einen "Dippel" wodurch es sich wiederum um eine Gaussverteilung handelt.
Naja, wie auch immer, vielen Dank für eure Hinweise! :)
lg,
divB
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