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Hallo zusammen. Ich habe mal eine Allgemeine Frage.
Wenn die Aufgabe lautet in welchen Punkten die Fkt. [mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases} [/mm] differenziwerbar ist, wie muss ich dann an solch eine Aufgebe rangehen??? Ich würde eigentlich zunächst mit den links und rechtsseitigen Grenzwert prüfen, ob die Funktion zunächst stetig ist, da dies ja ein Kriterium für die differenzierbarkeit ist. Soll heißen, wenn sie stetig ist, dann kann, muss sie aber nicht differenzierbar sein. Ist sie nicht stetig, ist sie auch nicht differenzierbar.
anschließend würde ich mit dem Differenzenquotienten berechnen, ob sie an den für uns zunächst interessanten Punkt x=1 differenzierbar ist. Aber wie berechne ich nun die anderen Punkte???
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> Hallo zusammen. Ich habe mal eine Allgemeine Frage.
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> Wenn die Aufgabe lautet in welchen Punkten die Fkt.
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> anschließend würde ich mit dem Differenzenquotienten
> berechnen, ob sie an den für uns zunächst interessanten
> Punkt x=1 differenzierbar ist. Aber wie berechne ich nun
> die anderen Punkte???
Hallo,
was meinst Du damit? Die Ableitungen an den anderen Stellen?
Die Funktion [mm] f_1: ]-\infty, [/mm] 1[ mit [mm] f_1(x):=2x-1 [/mm] differenzierbar ist, steht doch gar nicht zur Debatte.
Ihr habt doch bestimmt längst gezeigt, daß Summen und Produkte diffbarer Funktionen diffbar sind.
Und die Ableitung bekommst Du, indem Du - ableitest.
Für den anderen Ast gilt das entsprechend.
Um die Diffbarkeit zu entscheiden, bruachst Du wirklich nur den Limes der Ableitung von links und den von rechts zu berechnen und vergleichen.
Gruß v. Angela
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Naja ich hätte halt gesagt, da es sich ja bei 2x-1 um eine rationale Funktion handelt, ist Sie für [mm] ]-\infty;1], [/mm] und auch differenzierbar. Selbes gilt für [mm] x^2. [/mm] Ebenfalls eine rationale Funktion welche auf [mm] ]1;+\infty[ [/mm] stetig ist, und auch differenzierbar.
Daher bleibt einzig und allein sowohl für die Stetigkeit als auch für die Differenzierbarkeit die STelle x=1 zu prüfen. Wenn hier also der links und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen ist die Funktion stetig. Stimmt der Differenzenquotient an dieser STelle überein, ist die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Das heißt ja im Prinzip, dass eigetnlich nur rational gebrochene Funktionen an einer Stelle x nicht immer stetig und differenzierbar sind.
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> Das heißt ja im Prinzip, dass eigetnlich nur rational
> gebrochene Funktionen an einer Stelle x nicht immer stetig
> und differenzierbar sind.
Hallo,
kannst Du mal ein Beispiel sagen von einer gebrochenrationalen Funktion, die nicht stetig oder nicht diffbar ist? Wo meinst Du ist sie nicht stetig/diffbar?
Ich wittere hier nämlich ein großes Mißverständnis - welches wir besser ausräumen, bevor Du in eine prüfung marschierst.
Gruß v. Angela
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Also gut nicht stetig, nehmen wir mal z.B. [mm] \bruch{x^3+2x+1}{x-1}
[/mm]
Diese Funktion ist für x=1 nicht stetig.
Diff'bar, ist ja gerade so ein Problem. Die Aufgabe lautet ja halt in welchen Punkten die FUnktion $ [mm] f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases} [/mm] $ differenzierbar ist.
Ich hätte halt die Stelle x=1 Kontrolliert. Aber was meinen die Konkret mit den anderen Punkten??? Reicht nicht die STelle x=1???
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> Also gut nicht stetig, nehmen wir mal z.B.
> [mm]\bruch{x^3+2x+1}{x-1}[/mm]
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> Diese Funktion ist für x=1 nicht stetig.
Haargenau das hatte ich befürchtet...
Stetigkeit und Differenzierbarkeit betrachtet man immer, immer, immer auf dem Definitionsbereich der Funktion! die 1 ist hier nicht im Definitionsbereich, und damit ist jegliches Nachdenken darüber, ob sie in diesem Punkt stetig ist, müßig.
Gebrochen rationale Funktionen sind stetig und diffbar auf ihrem Definitionsbereich.
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> Diff'bar, ist ja gerade so ein Problem. Die Aufgabe lautet
> ja halt in welchen Punkten die FUnktion [mm]f(x)=\begin{cases} 2x-1, & \mbox{für } x \le 1 \mbox{} \\ x^2, & \mbox{für } x > 1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> differenzierbar ist.
Ömm - das haben wir doch garade vor wenigen Minütchen besprochen...
Rechts und links der Nahtstelle ist die Funktion diffbar, weil sie hier die Einschränkung einer diffbaren Funktion ist.
>
> Ich hätte halt die Stelle x=1 Kontrolliert.
Ergebnis: diffbar in x=1.
Also ist sie diffbar auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
Aber was meinen
> die Konkret mit den anderen Punkten??? Reicht nicht die
> STelle x=1???
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Dann ist mein Problem ja fast beantwortet  . Du sagst, mann betrachtet die nur auf dem Definitionsbereich. Das heißt wenn ich jetzt eine Aufgabe habe, die lautet, dass ich den maximlane Bereich ermitteln soll, auf dem eine Funktion differenzierbar ist, dann schreibe ich z.B. für die Funktion $ [mm] \bruch{x^3+2x+1}{x-1} [/mm] $, dass diese diff'bar für x= [mm] \IR [/mm] \ {1} ist???
Abgesehen jetzt von der stetigen Ergänzung. Das hatten wir noch nicht!!!
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> Dann ist mein Problem ja fast beantwortet . Du sagst,
> mann betrachtet
Frauen auch.
> die nur auf dem Definitionsbereich. Das
> heißt wenn ich jetzt eine Aufgabe habe, die lautet, dass
> ich den maximlane Bereich ermitteln soll, auf dem eine
> Funktion differenzierbar ist, dann schreibe ich z.B. für
> die Funktion [mm]\bruch{x^3+2x+1}{x-1} [/mm], dass diese diff'bar
> für x= [mm]\IR[/mm] \ {1} ist???
Ja.
Gruß v. Angela
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Ja natürlich Frauen auch... Sorry
Ich danke dir. Ich weiß ist nicht leicht mit mir. Deshalb auch respekt das ihr mir trotzdem immer helft.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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