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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \bruch{d^2x}{dy^2}=-\left(\bruch{dy}{dx}\right)^{-3}*\bruch{d^2y}{dx^2} [/mm] |
Hallo,
ich komme immernoch nicht so ganz mit dieser Schreibweise zu recht. Habe da einfach noch nicht genügend Erfahrungen. Mein Ansatz war der folgende:
In der Vorlesung wurde definiert:
[mm] \bruch{dx}{dy}=\left(\bruch{dy}{dx}\right)^{-1}
[/mm]
Jetzt müsste ich doch [mm] \bruch{d}{dy} [/mm] auf beide Seiten anwenden oder nicht ? Ich denke mir, dass es doch bestimmt eine Kettenregel ist (ist es ja eigentlich immer). Aber ich kriege es einfach nicht auf die Reihe.
Könnte jemand langsam mit mir durch das Beispiel durchgehen ? Vielleicht begreif ichs ja irgendwann mal.
Lg und danke,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 08.04.2010 | | Autor: | gfm |
> Zeigen Sie, dass
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> [mm]\bruch{d^2x}{dy^^2}=-\bruch{dy}{dx}*\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme immernoch nicht so ganz mit dieser Schreibweise
> zu recht. Habe da einfach noch nicht genügend Erfahrungen.
> Mein Ansatz war der folgende:
>
> In der Vorlesung wurde definiert:
>
> [mm]\bruch{dx}{dy}=\left(\bruch{dy}{dx}\right)^{-1}[/mm]
>
> Jetzt müsste ich doch [mm]\bruch{d}{dy}[/mm] auf beide Seiten
> anwenden oder nicht ? Ich denke mir, dass es doch bestimmt
> eine Kettenregel ist (ist es ja eigentlich immer). Aber ich
> kriege es einfach nicht auf die Reihe.
>
> Könnte jemand langsam mit mir durch das Beispiel
> durchgehen ? Vielleicht begreif ichs ja irgendwann mal.
>
> Lg und danke,
>
> exe
>
>
Hm, ich erhalte:
[mm]y=f(x)[/mm], [mm]x=f^{-1}(y)[/mm]
[mm] (x)'=(f^{-1}(f(x)))'
[/mm]
[mm] 1=f'(x)f^{-1}'(f(x))
[/mm]
[mm] 0=f''(x)f^{-1}'(f(x))+f'(x)^2f^{-1}''(f(x))
[/mm]
[mm] f^{-1}''(f(x))=-\frac{f''(x)}{f'(x)^3} [/mm]
also
[mm] \frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}
[/mm]
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Hallo,
danke für deine antwort. Du hast natülich recht. Ich habe es oben korrigiert.
Eine Frage habe ich aber noch:
> Hm, ich erhalte:
>
> [mm]y=f(x)[/mm], [mm]x=f^{-1}(y)[/mm]
>
> [mm](x)'=(f^{-1}(f(x)))'[/mm]
>
> [mm]1=f'(x)f^{-1}'(f(x))[/mm]
>
> [mm]0=f''(x)f^{-1}'(f(x))+f'(x)^2f^{-1}''(f(x))[/mm]
>
> [mm]f^{-1}''(f(x))=-\frac{f''(x)}{f'(x)^3}[/mm]
An diesem Punkt kommst du auf [mm] f'(x)^3 [/mm] . Kann man das so umformen ? Weil ich habe doch [mm] \bruch{f^{-1}'(x)}{f'(x)^2} [/mm] aber das [mm] f^{-1} [/mm] ist doch hier die Umkehrfunktion und nicht der Kehrwert oder ? Da komme ich noch nicht ganz hinterher.
> also
>
> [mm]\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}[/mm]
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Fr 09.04.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
>
> danke für deine antwort. Du hast natülich recht. Ich habe
> es oben korrigiert.
>
> Eine Frage habe ich aber noch:
>
> > Hm, ich erhalte:
> >
> > [mm]y=f(x)[/mm], [mm]x=f^{-1}(y)[/mm]
> >
> > [mm](x)'=(f^{-1}(f(x)))'[/mm]
> >
> > [mm]1=f'(x)f^{-1}'(f(x))[/mm]
> >
> > [mm]0=f''(x)f^{-1}'(f(x))+f'(x)^2f^{-1}''(f(x))[/mm]
> >
> > [mm]f^{-1}''(f(x))=-\frac{f''(x)}{f'(x)^3}[/mm]
>
> An diesem Punkt kommst du auf [mm]f'(x)^3[/mm] . Kann man das so
> umformen ? Weil ich habe doch [mm]\bruch{f^{-1}'(x)}{f'(x)^2}[/mm]
> aber das [mm]f^{-1}[/mm] ist doch hier die Umkehrfunktion und nicht
> der Kehrwert oder ? Da komme ich noch nicht ganz
> hinterher.
>
> > also
> >
> >
> [mm]\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}[/mm]
>
>
> Lg
>
Du mußt die Gleichung mit "1=..." in die mit "0=..." einsetzen.
LG
gfm
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